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up:: [[automophisme]]
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#s/maths/algèbre
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> [!definition] Définition
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> Soit $G$ un [[groupe]]
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> Pour tout $g \in G$, L'application
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> $\begin{align} \gamma _{g} : G &\to G\\ h &\mapsto g h g^{-1} \end{align}$
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> est appelée **conjugaison par $g$**
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^definition
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# Propriétés
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> [!proposition]+ La conjugaison est un automorphisme
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> Quel que soit $g \in G$, la conjugaison $\gamma _{g}$ est un [[automorphisme]] de $G$
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> $\boxed{\forall g \in G,\quad \gamma _{g} \in \mathrm{Aut}(G)}$
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > - Montrons que $\gamma _{g} \in \mathrm{End}(G)$
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> > $\begin{align} \forall h, h' \in G,\quad \gamma _{g}(hh') &= g(hh')g^{-1} \\&= hg\cdot h'g^{-1} \\&= gh 1_{G} h'g^{-1} \\&= ghg^{-1}gh'g^{-1} \\&= \gamma _{g}(h)\gamma _{g}(h') \end{align}$
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> > Donc $\gamma _{g}\in \mathrm{End}(G)$
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> > - on considère l'application suivante :
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> > $\begin{align} \tilde{\gamma}_{g} : G &\to \mathrm{End}(G) \\ g &\mapsto \gamma _{g}\end{align}$
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> > On a $\forall g, g' \in G,\quad \tilde{\gamma}(gg') = \tilde{\gamma}(g) \circ \tilde{\gamma}(g')$
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> > En effet, soient $g, g' \in G$, on a :
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> > $\begin{align} \forall h \in G,\quad \tilde{\gamma}(gg')(g) &= \gamma _{gg'}(h) = (gg')h(gg')^{-1} \\&= gg'hg'^{-1}g^{-1} \\&= g\gamma _{g'}(h)g^{-1} \\&= \gamma _{g}(\gamma _{g'}(h)) \\&= (\gamma _{g} \circ \gamma _{g'})(h) \\&= (\tilde{\gamma}(g) \circ \tilde{\gamma}(g'))(h) \end{align}$
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> > Maintenant, pour $g \in G$ on sait que :
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> > $\gamma _{g} \gamma _{g^{-1}} = \tilde{\gamma}(g) \tilde{\gamma}(g^{-1}) = \tilde{\gamma}(gg^{-1}) = \tilde{\gamma}(1_{G}) = \mathrm{id}_{G}$
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> > et, de la même manière, $\gamma _{g^{-1}}\gamma _{g} = \mathrm{id}_{G}$
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> >
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> > donc, $\gamma _{g}$ est bijectif (d'inverse $\gamma _{g^{-1}}$) et $\gamma _{g} \in \mathrm{Aut}(G)$
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> > On obtient aussi que $\tilde{\gamma}$ est à valeurs dans $\mathrm{Aut}(G)$, et donc que $\gamma$ est un morphisme
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> >
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# Exemples
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