up:: [[automophisme]]
#s/maths/algèbre 

> [!definition] Définition
> Soit $G$ un [[groupe]]
> Pour tout $g \in G$, L'application 
> $\begin{align} \gamma _{g} : G &\to G\\ h &\mapsto g h g^{-1}  \end{align}$
> est appelée **conjugaison par $g$**
^definition

# Propriétés

> [!proposition]+ La conjugaison est un automorphisme
> Quel que soit $g \in G$, la conjugaison $\gamma _{g}$ est un [[automorphisme]] de $G$ 
> $\boxed{\forall g \in G,\quad \gamma _{g} \in \mathrm{Aut}(G)}$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > - Montrons que $\gamma _{g} \in \mathrm{End}(G)$
> > $\begin{align} \forall h, h' \in G,\quad \gamma _{g}(hh') &= g(hh')g^{-1} \\&= hg\cdot h'g^{-1} \\&= gh 1_{G} h'g^{-1} \\&= ghg^{-1}gh'g^{-1} \\&= \gamma _{g}(h)\gamma _{g}(h') \end{align}$
> > Donc $\gamma _{g}\in \mathrm{End}(G)$
> > - on considère l'application suivante :
> > $\begin{align} \tilde{\gamma}_{g} : G &\to \mathrm{End}(G) \\ g &\mapsto \gamma _{g}\end{align}$
> > On a $\forall g, g' \in G,\quad \tilde{\gamma}(gg') = \tilde{\gamma}(g) \circ \tilde{\gamma}(g')$
> > En effet, soient $g, g' \in G$, on a :
> > $\begin{align} \forall h \in G,\quad \tilde{\gamma}(gg')(g) &= \gamma _{gg'}(h) = (gg')h(gg')^{-1} \\&= gg'hg'^{-1}g^{-1} \\&= g\gamma _{g'}(h)g^{-1} \\&= \gamma _{g}(\gamma _{g'}(h)) \\&= (\gamma _{g} \circ \gamma _{g'})(h) \\&= (\tilde{\gamma}(g) \circ \tilde{\gamma}(g'))(h) \end{align}$
> > Maintenant, pour $g \in G$ on sait que :
> > $\gamma _{g} \gamma _{g^{-1}} = \tilde{\gamma}(g) \tilde{\gamma}(g^{-1}) = \tilde{\gamma}(gg^{-1}) = \tilde{\gamma}(1_{G}) = \mathrm{id}_{G}$
> > et, de la même manière, $\gamma _{g^{-1}}\gamma _{g} = \mathrm{id}_{G}$
> > 
> > donc, $\gamma _{g}$ est bijectif (d'inverse $\gamma _{g^{-1}}$) et $\gamma _{g} \in \mathrm{Aut}(G)$
> > On obtient aussi que $\tilde{\gamma}$ est à valeurs dans $\mathrm{Aut}(G)$, et donc que $\gamma$ est un morphisme
> > 



# Exemples