device-60.home 2025-9-9:21:37:54

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M1 LOGOS . logique . calculer.md

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----
-up:
-  - "[[M1 LOGOS . logique]]"
-tags:
-  - s/fac
-  - s/maths/logique
----
-# 1. Le calcul booléen
-author:: [[George Boole]]
-[[calcul booléen]]

M1 LOGOS . logique.md

@@ -9,10 +9,24 @@ tags:
 - ? est-ce que les formules sont non-ambigües ? (une même formule donne toujours lieu à la même interprétation)
     - p oui, par théorème
 
-# Chapitres
+# 1 - Calculer
 1. [[M1 LOGOS . logique . calculer]]
+## 1.1 - Le calcul booléen
+author:: [[George Boole]]
+[[calcul booléen]]
 
-# Bibliographie
+## 1.2 - Formules
+[[formule logique]]
+
+## 1.3 - Evaluation
+
+## Tautologies
+
+[[tautologie]]
+
+## Formes normales
+
+# 2 - Bibliographie
 [page du cours de logique](https://webusers.imj-prg.fr/~antoine.chambert-loir/enseignement/2025-26/logique/index.xhtml)
 
 livres de logique :

forme normale disjonctive canonique.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+---
+up:
+  - "[[forme normale disjonctive]]"
+tags:
+  - s/maths/logique
+---
+
+> [!definition] Définition
+> Une [[formule logique]] $f$ est sous **forme normale disjonctive canonique** si elle est de la forme :
+> $\displaystyle\bigvee_{a \in \{ 0, 1 \}^{V}} \bigwedge_{v \in V} x_{v}^{a_{v}}$
+> où $x_{v}^{0} = x_{v}$ et $x_{v}^{1} = \neg x_{v}$
+^definition
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ Théorème
+> Toute formule est [[formules équivalentes|logiquement équivalente]] à une **unique** formule sous [[forme normale disjonctive canonique]].
+
+

forme normale disjonctive.md

@@ -0,0 +1,11 @@
+---
+up:
+  - "[[formule logique]]"
+tags:
+  - s/maths/logique
+---
+> [!definition] Définition
+> Une [[formule logique]] $f$ est sous **forme normale disjonctive** si elle est de la forme :
+> $\displaystyle\bigvee_{i \in I} \bigwedge_{j \in J} f_{i, j}$
+> où $f_{i, j}$ est de la forme $v$ ou $\neg v$ pour $v \in V$
+^definition

formule logique.md

@@ -1,7 +1,59 @@
 ---
 up:
   - "[[M1 LOGOS . logique . calculer]]"
+aliases:
+  - formules logiques
 ---
 > [!definition] Définition
-> Soit $V$
+> Soit $V$ un ensemble (de symboles de variables).
+> On demande que $V$ soit disjoint de l'ensemble $L$ des symboles logiques.
+> Les **formules** sont des [[langage formel mot|mots]] de l'alphabet $V \cup L$ c'est-à-dire  des suites finies d'éléments de $V \cup L$
 ^definition
+
+> [!definition] 
+> $\mathcal{F}_{v}$ est le plus petit ensemble de mots vérifiant les propriétés suivantes
+>  - $[0] \in \mathcal{F}_{v}$
+>  - $[1] \in \mathcal{F}_{v}$
+>  - si $v \in V$ alors $[v] \in \mathcal{F}_{v}$
+>  - si $f \in F_{v}$ alors $\neg f \in \mathcal{F}_{v}$
+>  - si $f_1, f_2 \in F_{v}$ alors :
+>      - $[\vee f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \vee f_2)$
+>      - $[\wedge f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \wedge f_2)$
+>      - $[\implies f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \implies f_2)$
+>      - $[\iff f_1 f_2] \in \mathcal{F}_{v}$ sous entendu $(f_1 \iff f_2)$
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ Théorème
+> Pour toute formule $f \in \mathcal{F}_{v}$
+> une et une seule des assertions suivantes est verrifée :
+>  1. $f = [0]$
+>  2. $f = [1]$
+>  3. $\exists v \in V,\quad f = [v]$
+>  4. $\exists f' \in \mathcal{F}_{v},\quad f = \neg f'$
+>  5. $\exists f_1, f_2 \in \mathcal{F}_{v},\quad f = [\vee f_1 f_2]$
+>  6. $\exists f_1, f_2 \in \mathcal{F}_{v},\quad f = [\wedge f_1 f_2]$
+>  7. $\exists f_1, f_2 \in \mathcal{F}_{v},\quad f = [\implies f_1 f_2]$
+>  8. $\exists f_1, f_2 \in \mathcal{F}_{v},\quad f = [\iff f_1 f_2]$
+> De plus :
+>  - dans 3. $v$ est unique et déterminé 
+>  - dans 4. $f'$ est unique et déterminé
+>  - dans 5. 6. 7. et 8. $f_1$ et $f_2$ sont uniques et déterminés
+
+> [!proposition]+ 
+> On définit une fonction $p$ qui à un symbole associe un poids :
+> $p(0) = p(1) = p(v) = -1$ pour tout $v \in V$
+> $p(\neg) = 0$
+> $p(\wedge) = p(\vee) = p(\implies) = p(\iff) = 1$
+> $p(\emptyset) = 0$
+> Puis par réccurence, avec $m = [a_1, \dots ,a_{n}]$ avec $a_{i} \in V \cup L$
+> $p(m) = p(a_1) + \cdots + p(a_{n})$
+> 
+> A a alors le théorème suivant :
+> Un mot $f$ est une formule  si et seulement si on a :
+> 1. $p(f) = -1$
+> 2. pour tout préfixe $f'$ de $f$, $f' \neq f$ on a $p(f') \geq 0$
+> 
+> > [!corollaire] 
+> > Un préfixe $f'$ d'une formule $f$ (tel que $f' \neq f$) n'est pas uen formule.
+

formules équivalentes.md

@@ -0,0 +1,10 @@
+---
+up:
+  - "[[formule logique]]"
+tags:
+  - s/science/psychologie
+---
+
+> [!definition] Définition
+> Deux [[formule logique|formules logiques]] $f$ et $g$ sont **logiquement équivalentes** si $f(a) = g(a)$ pour tout $a \in \{ 0, 1 \}^{V}$
+^definition

tautologie.md

@@ -1,8 +1,17 @@
-#s/maths/logique
+---
+tags:
+  - "#s/maths/logique"
+up:
+  - "[[formule logique]]"
+---
 
-----
+> [!definition] Définition
+> Une [[formule logique]] $f$ est une tautologie si $f(a) = 1$ pour tout $a \in \{ 0, 1 \}^{V}$
+^definition
 
-Une tautologie est une [[proposition]] qui est toujours vraie, indépendamment de son [[interprétation]].
+
+> [!idea] intuition
+> Une tautologie est une [[proposition]] qui est toujours vraie, indépendamment de son [[interprétation]].
 
 # Exemple
 > La pièce est sur le côté pile ou le côté façe