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MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-3-22:2:36:7

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2026-03-22 02:36:07 +01:00
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.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json vendored
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@@ -631,7 +631,7 @@
"prevs"
],
"lock_view": false,
"lock_path": "fonction récursive primitive.md"
"lock_path": "fonction d'ackermann de cori et lascar.md"
},
"tree": {
"collapse": false,
@@ -651,7 +651,7 @@
"alias": false
},
"lock_view": false,
"lock_path": "fonction récursive primitive.md"
"lock_path": "fonction d'ackermann de cori et lascar.md"
}
},
"codeblocks": {

30
fonction d'ackermann de cori et lascar.md
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@@ -28,6 +28,36 @@ aliases:
> > $\begin{cases} \xi _{n}(0) = 1\\ \xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \end{cases}$
> > Cela établit clairement que chaque $\xi _{n}$ est bien définie, et donc que $\xi$ est unique.
> [!corollaire]+ Lemme 1 : $\xi _{n}(x)>x$
> Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x) > x$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On utilise deux récurrences emboîtées :
> > Par récurrence sur $n$, on montre que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n}(x)>x$
> > - **Initialisation** :
> > Pour $n = 0$ la propriété est évidente : $\xi_0(x) = 2^{x} > x$
> > - **Récurrence :**
> > Fixons $n>0$ et supposons que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi_{n-1}(x)>x$
> > On veut alors montrer que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n}(x)>x$
> > Pour cela, on fait une récurrence sur $x$ :
> > - **Initialisation** sur $x$ :
> > La propriété est claire pour $x=0$, puisque $\xi _{n}(0) = 1$
> > - **Récurrence** sur $x$ :
> > On suppose que $\xi _{n}(x)>x$ et on va montrer que $\xi _{n}(x+1)>x+1$
> > On sait que $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x))$
> > Par nos suppositions, on sait que $\xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) > \xi _{n}(x)$ (puisque $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n-1}(x)>x$).
> > On peut donc affirmer que $\xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)+1$ (on ajoute $1$ artificiellement)
> > Encore par suppositions, on a que $\xi _{n}(x)>x$
> > Ainsi on obtient :
> > $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)+1 > x+1$
> > Ce qui montre bien la relation de récurrence
> >
> [!corollaire] Lemme 2 : $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
> Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On procède par récurrence sur $n$ :
> > -
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