diff --git a/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json b/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json
index 55b2e089..2273b86e 100644
--- a/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json
+++ b/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json
@@ -631,7 +631,7 @@
           "prevs"
         ],
         "lock_view": false,
-        "lock_path": "fonction récursive primitive.md"
+        "lock_path": "fonction d'ackermann de cori et lascar.md"
       },
       "tree": {
         "collapse": false,
@@ -651,7 +651,7 @@
           "alias": false
         },
         "lock_view": false,
-        "lock_path": "fonction récursive primitive.md"
+        "lock_path": "fonction d'ackermann de cori et lascar.md"
       }
     },
     "codeblocks": {
diff --git a/fonction d'ackermann de cori et lascar.md b/fonction d'ackermann de cori et lascar.md
index f15c80ba..9e692422 100644
--- a/fonction d'ackermann de cori et lascar.md	
+++ b/fonction d'ackermann de cori et lascar.md	
@@ -28,6 +28,36 @@ aliases:
 > > $\begin{cases} \xi _{n}(0) = 1\\ \xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \end{cases}$
 > > Cela établit clairement que chaque $\xi _{n}$ est bien définie, et donc que $\xi$ est unique.
 
+> [!corollaire]+ Lemme 1 : $\xi _{n}(x)>x$
+> Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x) > x$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On utilise deux récurrences emboîtées :
+> > Par récurrence sur $n$, on montre que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n}(x)>x$
+> >  - **Initialisation** :
+> >    Pour $n = 0$ la propriété est évidente : $\xi_0(x) = 2^{x} > x$
+> >  - **Récurrence :**
+> >    Fixons $n>0$ et supposons que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi_{n-1}(x)>x$
+> >    On veut alors montrer que $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n}(x)>x$
+> >    Pour cela, on fait une récurrence sur $x$ :
+> >      - **Initialisation** sur $x$ :
+> >        La propriété est claire pour $x=0$, puisque $\xi _{n}(0) = 1$
+> >      - **Récurrence** sur $x$ :
+> >        On suppose que $\xi _{n}(x)>x$ et on va montrer que $\xi _{n}(x+1)>x+1$
+> >        On sait que $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x))$
+> >        Par nos suppositions, on sait que $\xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) > \xi _{n}(x)$ (puisque $\forall x \in \mathbb{N},\quad \xi _{n-1}(x)>x$).
+> >        On peut donc affirmer que $\xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)+1$ (on ajoute $1$ artificiellement)
+> >        Encore par suppositions, on a que $\xi _{n}(x)>x$
+> >        Ainsi on obtient : 
+> >        $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)+1 > x+1$
+> >        Ce qui montre bien la relation de récurrence
+> >    
+
+> [!corollaire] Lemme 2 : $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
+> Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On procède par récurrence sur $n$ :
+> >  - 
+
 # Exemples