MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-6-13:17:14:51
This commit is contained in:
oskar
Vendored
+10
-1
@@ -1069,5 +1069,14 @@
|
||||
],
|
||||
"key": "L"
|
||||
}
|
||||
]
|
||||
],
|
||||
"breadcrumbs:rebuild-graph": [
|
||||
{
|
||||
"modifiers": [
|
||||
"Mod"
|
||||
],
|
||||
"key": "R"
|
||||
}
|
||||
],
|
||||
"wikilinks-to-mdlinks-obsidian:toggle-wiki-md-links": []
|
||||
}
|
||||
+1
-1
@@ -286,7 +286,7 @@
|
||||
"prevs"
|
||||
],
|
||||
"lock_view": false,
|
||||
"lock_path": "filtre.md",
|
||||
"lock_path": "trace d'une matrice.md",
|
||||
"custom_sort_fields": false,
|
||||
"custom_sort_field_labels": []
|
||||
},
|
||||
|
||||
@@ -1,7 +1,8 @@
|
||||
next:: [[next of addition de matrices]]
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||||
up::[[matrice]]
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
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up:
|
||||
- "[[opérations sur les matrices]]"
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||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
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||||
---
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||||
|
||||
On additionne les matrices élément par élément (les deux matrices additionnées doivent donc avoir la même taille).
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||||
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||||
+6
-2
@@ -1,5 +1,9 @@
|
||||
up::[[matrice]]
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
---
|
||||
up:
|
||||
- "[[matrices particulières]]"
|
||||
- "[[opérations sur les matrices]]"
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||||
tags: "#s/maths/algèbre"
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---
|
||||
|
||||
> [!definition] [[comatrice]]
|
||||
> Soit $A$ une matrice de taille $n$
|
||||
|
||||
@@ -1,11 +1,13 @@
|
||||
---
|
||||
alias: [ "décomposition en matrice symétrique et antisymétrique" ]
|
||||
alias:
|
||||
- décomposition en matrice symétrique et antisymétrique
|
||||
up:
|
||||
- "[[opérations sur les matrices]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
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||||
up:: [[matrice]]
|
||||
title:: "toute matrice carrée se décompose en $S+A$, avec $\,^TS=S$ et $\,^TA=-A$"
|
||||
#s/maths/algèbre
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||||
|
||||
---
|
||||
- I toute matrice carrée se décompose en $S+A$, avec $\,^TS=S$ et $\,^TA=-A$
|
||||
|
||||
> [!definition] Décomposition d'une matrice en somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique
|
||||
> Soit $M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ une matrice carrée
|
||||
|
||||
@@ -2,17 +2,17 @@
|
||||
sr-due: 2022-09-21
|
||||
sr-interval: 29
|
||||
sr-ease: 291
|
||||
alias: [ "déterminant" ]
|
||||
alias:
|
||||
- déterminant
|
||||
up:
|
||||
- "[[opérations sur les matrices]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
|
||||
up::[[matrice]]
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
Soit $A$ une [[matrice]].
|
||||
On note $\det(A)$ le _déterminant_ d'une matrice.
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||||
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||||
# Définition
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## Matrices de taille 2
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@@ -47,8 +47,8 @@ Cette méthode se base sur une formule de récurrence :
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||||
- On note $A'_{i,j}$ la matrice obtenue en enlevant la ligne $i$ et la colonne $j$ de la matrice $A$
|
||||
- On note $c_{i,j} = (-1)^{i+j}\times\det(A_{i,j})$
|
||||
- On a alors :
|
||||
- Développement par colonnes : $\disp\det(A) = \sum_{j=1}^n \left(c_{i,j}\times A'_{i,j}\right)$
|
||||
- Développement par lignes : $\disp\det(A) = \sum_{i=1}^n \left( c_{i,j}\times A'_{i,j} \right)$
|
||||
- Développement par colonnes : $\displaystyle\det(A) = \sum_{j=1}^n \left(c_{i,j}\times A'_{i,j}\right)$
|
||||
- Développement par lignes : $\displaystyle\det(A) = \sum_{i=1}^n \left( c_{i,j}\times A'_{i,j} \right)$
|
||||
|
||||
|
||||
### Définition en APL
|
||||
|
||||
@@ -1,11 +1,13 @@
|
||||
---
|
||||
alias: [ "forme bilinéaire associée à une matrice", "forme bilinéaire associée" ]
|
||||
---
|
||||
up:: [[forme bilinéaire]], [[matrice]]
|
||||
sibling:: [[matrice d'une forme bilinéaire]]
|
||||
title:: $f(X, Y) = \,^TX \times M \times Y$
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
alias:
|
||||
- forme bilinéaire associée à une matrice
|
||||
- forme bilinéaire associée
|
||||
up:
|
||||
- "[[forme bilinéaire]]"
|
||||
- "[[objets associés à une matrice]]"
|
||||
sibling: "[[matrice d'une forme bilinéaire]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
|
||||
> [!definition] forme bilinéaire d'une matrice
|
||||
@@ -14,7 +16,6 @@ title:: $f(X, Y) = \,^TX \times M \times Y$
|
||||
> $\boxed{f(X, Y) = \,^TX \times M \times Y}$
|
||||
^definition
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||||
|
||||
|
||||
# Explication
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||||
$f((x_1, x_2, \dots,x_{n}), (y_1,y_2,\dots,y_{n})) = \begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_{n}\\\end{pmatrix} \times M \times \begin{pmatrix}y_1\\ y_2 \\ \vdots \\ y_{n}\end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
@@ -1,12 +1,14 @@
|
||||
---
|
||||
alias: "inverse"
|
||||
alias: inverse
|
||||
up:
|
||||
- "[[opérations sur les matrices]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
up::[[matrice]]
|
||||
title::"$M^{-1}$ telle que $M^{-1}\times M= M \times M^{-1} = \mathrm{Id}$"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
----
|
||||
Soit $M$ une [[matrice]]. On note $M^{-1}$ la matrice _inverse_ de $M$, si elle existe, la matrice telle que $M\times M^{-1} = M^{-1}\times M = Id$ la [[matrice identité]]
|
||||
> [!definition] [[inverse d'une matrice]]
|
||||
> Soit $M$ une [[matrice]]. On note $M^{-1}$ la matrice _inverse_ de $M$, si elle existe, la matrice telle que $M\times M^{-1} = M^{-1}\times M = Id$ la [[matrice identité]]
|
||||
^definition
|
||||
|
||||
# Matrice inversible
|
||||
Soit $A$ une matrice, elle est dite _inversible_ si $\exists B, AB=BA=Id$
|
||||
|
||||
+6
-4
@@ -1,7 +1,9 @@
|
||||
up:: [[matrice]], [[endomorphisme adjoint]]
|
||||
title:: "sur $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})$: [[matrice transconjuguée]]", "matrices carrées : [[endomorphisme adjoint]]"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
up:
|
||||
- "[[endomorphisme adjoint]]"
|
||||
- "[[opérations sur les matrices]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
|
||||
> [!definition] matrice adjointe
|
||||
|
||||
+16
-11
@@ -1,18 +1,23 @@
|
||||
---
|
||||
alias: [ "antisymétrique" ]
|
||||
alias:
|
||||
- antisymétrique
|
||||
up:
|
||||
- "[[matrices particulières]]"
|
||||
sibling: "[[matrice symétrique]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
up::[[matrice]]
|
||||
sibling:: [[matrice symétrique]]
|
||||
title::"$M^{T} = -M$ ([[transposée]])"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
----
|
||||
Soit $M\in M_{n,n}(\mathbb{R})$ une [[matrice]], $M$ est _antisymétrique_ ssi :
|
||||
$M^{T}=-M$ (Sa transposée est son opposé).
|
||||
- I $M^{T} = -M$ ([[transposée]])
|
||||
|
||||
Cela veut dire que :
|
||||
- Sa diagonale est nulle
|
||||
- $\forall (i,j)\in[\![0;n]\!]^2, M_{i,j} = -M_{j,i}$
|
||||
> [!definition] [[matrice antisymétrique]]
|
||||
> Soit $M\in M_{n,n}(\mathbb{R})$ une [[matrice]], $M$ est _antisymétrique_ ssi :
|
||||
> $M^{T}=-M$ (Sa transposée est son opposé).
|
||||
>
|
||||
> Cela veut dire que :
|
||||
> - Sa diagonale est nulle
|
||||
> - $\forall (i,j)\in[\![0;n]\!]^2, M_{i,j} = -M_{j,i}$
|
||||
^definition
|
||||
|
||||
# Exemple
|
||||
$$M = \begin{pmatrix}0&-2&4\\ 2&0&7\\ -4&-7&0 \end{pmatrix}$$
|
||||
|
||||
@@ -1,10 +1,16 @@
|
||||
---
|
||||
alias: [ "application linéaire associée à une matrice", "matrice associée", "application linéaire associée", "matrice d'un application linéaire" ]
|
||||
alias:
|
||||
- application linéaire associée à une matrice
|
||||
- matrice associée
|
||||
- application linéaire associée
|
||||
- matrice d'un application linéaire
|
||||
up:
|
||||
- "[[application linéaire]]"
|
||||
- "[[objets associés à une matrice]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
up::[[application linéaire]], [[matrice]]
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
----
|
||||
Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie, de [[base d'un espace vectoriel|base]] respective $\mathcal B = \{e_1,\ldots,e_n\}$ et $\mathcal C = \{f_1,\ldots,f_n\}$,
|
||||
Soit $f$ une [[application linéaire]] de $E$ dans $F$.
|
||||
Soit $x\in E$,
|
||||
|
||||
@@ -1,7 +1,8 @@
|
||||
up:: [[matrice]]
|
||||
title:: $\overline{M}_{i,j} = \overline{(M_{i,j})}$
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
up:
|
||||
- "[[opérations sur les matrices]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
|
||||
> [!definition] matrice conjuguée
|
||||
|
||||
@@ -1,7 +1,9 @@
|
||||
up::[[matrice]]
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
----
|
||||
---
|
||||
up:
|
||||
- "[[objets associés à une matrice]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
|
||||
# matrice d'un vecteur dans une base
|
||||
Soit $E$ un [[espace vectoriel]] réel de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$,
|
||||
@@ -9,10 +11,10 @@ Soit $\scr B = \{e_1,\ldots,e_n\}$ une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $E
|
||||
Un vecteur $x$ de $E$ se décompose de façon unique sous la forme $x = x_1e_1+\cdots+x_ne_n$ avec $(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$
|
||||
|
||||
$\mathrm{Mat}_{\scr B}(x) = [x]_{\scr B} = \begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}$
|
||||
|
||||
# Propriétés
|
||||
L'[[application]] $x\mapsto [x]_{\scr B}$ est [[application linéaire|linéaire]] de $E$ dans $\mathbb{R}^n$.
|
||||
|
||||
|
||||
# Exemple
|
||||
Les vecteurs $u_1 = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$, $u_2 = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$, $u_3 = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$ forment une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $\mathbb{R}^3$
|
||||
Le vecteur $v = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$ se décompose sous la forme $xu_1+yu_2+zu_3$, soit :
|
||||
|
||||
@@ -1,11 +1,15 @@
|
||||
---
|
||||
alias: [ "matrice associée à une forme bilinéaire", "matrice associée" ]
|
||||
alias:
|
||||
- matrice associée à une forme bilinéaire
|
||||
- matrice associée
|
||||
up:
|
||||
- "[[forme bilinéaire|forme bilinéaire]]"
|
||||
- "[[objets associés à une matrice]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
up:: [[forme bilinéaire|forme bilinéaire]], [[matrice]]
|
||||
title:: "$M_{i,j} = f(e_{i}, e_{j})$"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
- I $M_{i,j} = f(e_{i}, e_{j})$
|
||||
|
||||
> [!definition] matrice d'une forme bilinéaire
|
||||
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$ muni d'une base $\mathcal{B} = (e_1, e_2, \dots, e_{n})$
|
||||
|
||||
@@ -1,11 +1,15 @@
|
||||
---
|
||||
alias: [ "matrice associée à une forme quadratique", "matrice associée" ]
|
||||
alias:
|
||||
- matrice associée à une forme quadratique
|
||||
- matrice associée
|
||||
up:
|
||||
- "[[forme quadratique]]"
|
||||
- "[[objets associés à une matrice]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
up:: [[forme quadratique]], [[matrice]]
|
||||
title:: "matrice $M$ [[matrice symétrique|symétrique]] telle que $\varphi(x) = \,^T\!xMx$"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
- I matrice $M$ [[matrice symétrique|symétrique]] telle que $\varphi(x) = \,^T\!xMx$
|
||||
|
||||
> [!definition] matrice d'une forme quadratique
|
||||
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$
|
||||
|
||||
+10
-6
@@ -1,12 +1,16 @@
|
||||
---
|
||||
alias: [ "rotation" ]
|
||||
alias:
|
||||
- rotation
|
||||
up:
|
||||
- "[[rotation]]"
|
||||
- "[[matrice orthogonale]]"
|
||||
sibling: "[[matrice de symétrie]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
up::[[matrice]], [[rotation]], [[matrice orthogonale]]
|
||||
sibling:: [[matrice de symétrie]]
|
||||
title::"[[matrice orthogonale]] de [[déterminant d'une matrice|déterminant]] 1", "$\begin{pmatrix}a&b\\ b&-a\end{pmatrix}$ avec $a^{2}+b^{2}=1$ en 2D"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
- I [[matrice orthogonale]] de [[déterminant d'une matrice|déterminant]] 1
|
||||
- en 2D : $\begin{pmatrix}a&b\\ b&-a\end{pmatrix}$ avec $a^{2}+b^{2}=1$
|
||||
|
||||
> [!definition] Matrice de rotation
|
||||
> Une **matrice de rotation** est une [[matrice orthogonale]] de [[déterminant d'une matrice|déterminant]] $1$
|
||||
|
||||
@@ -1,8 +1,10 @@
|
||||
up::[[matrice]], [[symétrie vectorielle orthogonale]]
|
||||
sibling:: [[matrice de rotation]]
|
||||
title::
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
up:
|
||||
- "[[symétrie vectorielle orthogonale]]"
|
||||
- "[[matrices particulières]]"
|
||||
sibling: "[[matrice de rotation]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
|
||||
> [!definition] Matrice de rotation
|
||||
|
||||
@@ -1,16 +1,17 @@
|
||||
up::[[matrice]]
|
||||
title::"telle que $i\neq j \implies M_{i,j} = 0$"
|
||||
description::"seuls les éléments de sa diagonale sont non-nuls"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
----
|
||||
Une *matrice diagonale* est une [[matrice]] particulière telle que seuls les éléments de sa diagonale sont non nuls.
|
||||
---
|
||||
up:
|
||||
- "[[matrices particulières]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
|
||||
> [!definition]
|
||||
> Soit $M \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbf{K})$ une matrice de taille $m\times n$.
|
||||
> $M$ est une _matrice diagonale_ si $\forall (i,j)\in [\![0,m]\!]\times[\![0,n]\!], i\neq j \implies M_{ij} = 0$
|
||||
^definition
|
||||
|
||||
- I Une *matrice diagonale* est une [[matrice]] telle que seuls les éléments de sa diagonale sont non nuls.
|
||||
|
||||
# Propriétés
|
||||
Soit $D$ une matrice diagonale
|
||||
|
||||
|
||||
+16
-14
@@ -1,19 +1,21 @@
|
||||
up::[[matrice]]
|
||||
title::"$\mathrm{Id}_{i,j} = \delta _{i,j} = [i=j]$"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
---
|
||||
up:
|
||||
- "[[matrices particulières]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
|
||||
----
|
||||
> [!definition] [[matrice identité]]
|
||||
La matrice identité de taille $n$ est la [[matrice]] $Id_n$ telle que :
|
||||
|
||||
$$\forall (i,j)\in[\![1;n]\!]^2,
|
||||
Id_{n_{i,j}} =
|
||||
\left\{\begin{gathered}
|
||||
1 \text{ si } i = j\\
|
||||
0 \text{ sinon}
|
||||
\end{gathered}
|
||||
\right.$$
|
||||
Autre définition : $\forall(i,j)\in[\![1;n]\!], Id_{n_{i,j}} = \delta_{i,j}$ où $\delta$ est le [[symbole de kronecker]].
|
||||
|
||||
> $$\forall (i,j)\in[\![1;n]\!]^2,
|
||||
> Id_{n_{i,j}} =
|
||||
> \left\{\begin{gathered}
|
||||
> 1 \text{ si } i = j\\
|
||||
> 0 \text{ sinon}
|
||||
> \end{gathered}
|
||||
> \right.$$
|
||||
> Autre définition : $\forall(i,j)\in[\![1;n]\!], Id_{n_{i,j}} = \delta_{i,j}$ où $\delta$ est le [[symbole de kronecker]].
|
||||
^definition
|
||||
|
||||
# Propriétés
|
||||
- $Id$ est l'élément neutre des matrices pour la [[multiplication de matrices]] : $Id\times M = M\times Id = M$
|
||||
|
||||
@@ -1,11 +1,13 @@
|
||||
---
|
||||
alias: [ "orthogonale" ]
|
||||
alias:
|
||||
- orthogonale
|
||||
up:
|
||||
- "[[matrices particulières]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
up:: [[matrice]]
|
||||
title:: "$\,^T\!M M = Id$"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
- I $\,^T\!M M = Id$
|
||||
|
||||
> [!definition] Matrice orthogonale
|
||||
> Soit $\mathbf{K}$ un corps
|
||||
|
||||
@@ -1,7 +1,9 @@
|
||||
up:: [[matrice]]
|
||||
title:: "coefficients dans $[0, 1]$", "somme des lignes vaut 1"
|
||||
#s/maths/algèbre #s/maths/probabilités
|
||||
|
||||
---
|
||||
up:
|
||||
- "[[matrices particulières]]"
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tags:
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- "#s/maths/algèbre"
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- "#s/maths/probabilités"
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---
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||||
> [!definition] Matrice stochastique
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||||
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@@ -1,20 +1,20 @@
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||||
---
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||||
alias: [ "symétrique" ]
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||||
alias:
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||||
- symétrique
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||||
up:
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||||
- "[[matrices particulières]]"
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||||
sibling: "[[matrice antisymétrique]]"
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||||
tags:
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||||
- "#s/maths/algèbre"
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||||
---
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||||
up::[[matrice]]
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||||
sibling:: [[matrice antisymétrique]]
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||||
title::"telle que $M = M^{T}$ ([[transposée]])"
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||||
#s/maths/algèbre
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----
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||||
> [!definition]
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||||
> Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K})$ une [[matrice]],
|
||||
> $M$ est une _matrice symétrique_ ssi :
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||||
> $M = \,^TM$
|
||||
> $\boxed{M = \,^TM}$
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||||
> c'est-à-dire si elle est égale à sa [[transposée]].
|
||||
>
|
||||
> - [I] Visuellement, cela veut dire que la matrice est symétrique par rapport à sa diagonale.
|
||||
> - I Visuellement, cela veut dire que la matrice est symétrique par rapport à sa diagonale.
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||||
^definition
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||||
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||||
# Exemple
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||||
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||||
@@ -1,9 +1,11 @@
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up:: [[matrice]]
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||||
title:: "[[transposée]] du [[conjugé complexe]] de chaque valeur"
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||||
#s/maths/algèbre
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---
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up:
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||||
- "[[opérations sur les matrices]]"
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||||
tags:
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- "#s/maths/algèbre"
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---
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||||
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||||
- I [[transposée]] du [[conjugé complexe]] de chaque valeur
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||||
> [!definition] matrice transconjuguée
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||||
> Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice
|
||||
> On note $\,^T\overline{M}$ la **transconjuguée** de $M$, la [[transposée]] de la [[matrice conjuguée]] de $M$.
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||||
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||||
@@ -1,9 +1,12 @@
|
||||
---
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||||
aliases:
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||||
- matrice modulaire
|
||||
up:
|
||||
- "[[groupe des classes modulo n]]"
|
||||
- "[[matrices particulières]]"
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tags:
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||||
- "#s/maths/algèbre"
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---
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||||
up:: [[matrice]], [[groupe des classes modulo n]]
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||||
#s/maths/algèbre
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||||
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||||
> [!definition] [[matrices modulaires]]
|
||||
> Soient $m, n \in \mathbb{N}_{\geq 2}$
|
||||
|
||||
@@ -0,0 +1,16 @@
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---
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||||
up:
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||||
- "[[matrice]]"
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tags:
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||||
- s/maths/algèbre
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aliases:
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---
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||||
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||||
```breadcrumbs
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||||
title: "Sous-notes"
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type: tree
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||||
collapse: true
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||||
show-attributes: [field]
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||||
field-groups: [downs]
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||||
depth: [0, 0]
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||||
```
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||||
@@ -1,5 +1,6 @@
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||||
---
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||||
up: "[[matrice]]"
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up:
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||||
- "[[opérations sur les matrices]]"
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tags:
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||||
- "#s/maths/algèbre"
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aliases:
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@@ -0,0 +1,16 @@
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---
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up:
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||||
- "[[matrice]]"
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||||
tags:
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||||
- s/maths/algèbre
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aliases:
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||||
---
|
||||
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||||
```breadcrumbs
|
||||
title: "Sous-notes"
|
||||
type: tree
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||||
collapse: true
|
||||
show-attributes: [field]
|
||||
field-groups: [downs]
|
||||
depth: [0, 0]
|
||||
```
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||||
@@ -0,0 +1,7 @@
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||||
---
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||||
up:
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||||
- "[[matrice]]"
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||||
tags:
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||||
- s/maths/algèbre
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||||
aliases:
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||||
---
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||||
@@ -1,6 +1,6 @@
|
||||
up:: [[matrice d'une forme bilinéaire]]
|
||||
sibling:: [[partie symétrique d'une forme bilinéaire]]
|
||||
title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$"
|
||||
title:: "[[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$"
|
||||
#s/maths/algèbre
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||||
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||||
---
|
||||
@@ -8,10 +8,10 @@ title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [
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||||
> [!definition] partie antisymétrique d'une forme bilinéaire
|
||||
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
|
||||
> Soit $f: E^{2} \to \mathbf{K}$ une [[forme bilinéaire]] de $E$
|
||||
> On appelle **partie antisymétrique de $f$** la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$
|
||||
> On appelle **partie antisymétrique de $f$** la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$
|
||||
>
|
||||
> Soit $M$ la matrice de $f$.
|
||||
> La [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de $M$ est $\frac{1}{2}(M - \,^TM)$
|
||||
> Donc, la partie antisymétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M - \,^TM)$
|
||||
> Donc, la partie antisymétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M - \,^TM)$
|
||||
^definition
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -1,6 +1,6 @@
|
||||
up:: [[matrice d'une forme bilinéaire]]
|
||||
sibling:: [[partie symétrique d'une forme bilinéaire]]
|
||||
title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$"
|
||||
title:: "[[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
@@ -8,10 +8,10 @@ title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [
|
||||
> [!definition] partie symétrique d'une forme bilinéaire
|
||||
> Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]]
|
||||
> Soit $f: E^{2} \to \mathbf{K}$ une [[forme bilinéaire]] de $E$
|
||||
> On appelle **partie symétrique de $f$** la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$
|
||||
> On appelle **partie symétrique de $f$** la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$
|
||||
>
|
||||
> Soit $M$ la matrice de $f$.
|
||||
> La [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de $M$ est $\frac{1}{2}(M + \,^TM)$
|
||||
> Donc, la partie symétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M+\,^TM)$
|
||||
> Donc, la partie symétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M+\,^TM)$
|
||||
^definition
|
||||
|
||||
|
||||
@@ -1,23 +1,27 @@
|
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---
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||||
alias: [ "matrice polynôme caractéristique" ]
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||||
alias:
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||||
- matrice polynôme caractéristique
|
||||
up:
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||||
- "[[endomorphisme linéaire]]"
|
||||
- "[[objets associés à une matrice]]"
|
||||
sibling: "[[polynôme caractéristique d'un endomorphisme linéaire]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
up:: [[matrice]], [[endomorphisme linéaire]]
|
||||
sibling:: [[polynôme caractéristique d'un endomorphisme linéaire]]
|
||||
title:: "$\det(M - \lambda \text{Id}_{n})$"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
- I $\det(M - \lambda \cdot \operatorname{Id}_{n})$
|
||||
|
||||
|
||||
> [!definition] polynôme caractéristique
|
||||
> Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K})$ une [[matrice]] carrée
|
||||
> Le [[polynôme]] caractéristique de $M$ est :
|
||||
> $\det(M - \lambda \text{Id}_{n})$
|
||||
> $\det(M - \lambda \operatorname{ID}_{n})$
|
||||
> C'est un polynôme dont les [[racines d'un polynôme|racines]] sont les [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] de $M$
|
||||
^definition
|
||||
|
||||
> [!definition] [[polynôme caractéristique d'une matrice]]
|
||||
> Soit $M$ une matrice carrée
|
||||
> $\det(X \mathrm{Id}_{n} - M)$ est le polynôme caractéristique de $M$
|
||||
> $\det(X \operatorname{Id}_{n} - M)$ est le polynôme caractéristique de $M$
|
||||
|
||||
|
||||
# Propriétés
|
||||
|
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@@ -1,5 +1,9 @@
|
||||
up:: [[matrice]]
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||||
#s/maths/algèbre
|
||||
---
|
||||
up:
|
||||
- "[[opérations sur les matrices]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
|
||||
> [!definition] [[produit de hadamard]]
|
||||
> Soient $A$ et $B$ des matrices de même dimension, le produit de hadamard $A \odot B$ est la produit terme-à-terme de $A$ et de $B$ :
|
||||
|
||||
@@ -1,12 +1,15 @@
|
||||
---
|
||||
alias: "trace"
|
||||
alias: trace
|
||||
up:
|
||||
- "[[objets associés à une matrice]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
up::[[matrice]]
|
||||
title::$\mathrm{Tr}(M) = \sum\limits_{k} M_{k,k}$
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
----
|
||||
La *trace* d'une [[matrice]] **carrée** est la somme de ses coefficients diagonaux.
|
||||
> [!definition] [[trace d'une matrice]]
|
||||
> La *trace* d'une [[matrice]] **carrée** est la somme de ses coefficients diagonaux.
|
||||
> $\operatorname{Tr}(M) = \sum\limits_{k} M_{k,k}$
|
||||
^definition
|
||||
|
||||
|
||||
# Notation
|
||||
|
||||
+14
-11
@@ -1,17 +1,20 @@
|
||||
---
|
||||
alias: [ "transposée d'une matrice", "matrice transposée", "transposition" ]
|
||||
alias:
|
||||
- transposée d'une matrice
|
||||
- matrice transposée
|
||||
- transposition
|
||||
up:
|
||||
- "[[opérations sur les matrices]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
up::[[matrice]]
|
||||
title::"$M^{T}_{i,j}=M_{j,i}$"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
----
|
||||
|
||||
Soit $M$ une [[matrice|matrice]] de dimension $(m, n)$.
|
||||
La _transposée_ de $M$ est la matrice $M^T$ (ou $^TM$) telle que :
|
||||
- $M^T$ est de dimension $(n, m)$
|
||||
- $M^T_{i, j} = M_{j, i}$
|
||||
|
||||
> [!definition] [[transposée]]
|
||||
> Soit $M$ une [[matrice|matrice]] de dimension $(m, n)$.
|
||||
> La _transposée_ de $M$ est la matrice $M^T$ (ou $^TM$) telle que :
|
||||
> - $M^T$ est de dimension $(n, m)$
|
||||
> - $\boxed{M^T_{i, j} = M_{j, i}}$
|
||||
^definition
|
||||
|
||||
# Exemple
|
||||
Soit $M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\5&7&144\\42&73&28\end{array}\right)$
|
||||
|
||||
@@ -1,12 +1,15 @@
|
||||
---
|
||||
alias: [ "valeur propre", "valeurs propres" ]
|
||||
alias:
|
||||
- valeur propre
|
||||
- valeurs propres
|
||||
up:
|
||||
- "[[objets associés à une matrice]]"
|
||||
sibling: "[[valeur propre d'une application linéaire]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
up:: [[matrice]]
|
||||
sibling:: [[valeur propre d'une application linéaire]]
|
||||
title:: "$\lambda$ tel que $\exists u \neq \vec{0}, Mu = \lambda u$"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
- I $\lambda$ tel que $\exists u \neq \vec{0}, Mu = \lambda u$
|
||||
|
||||
> [!definition] Valeur propre d'une matrice
|
||||
> Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]]
|
||||
|
||||
@@ -1,10 +1,11 @@
|
||||
up:: [[matrice]]
|
||||
title:: "$u \neq \vec{0}$ tel que $\exists \lambda \in \mathbf{K}, Mu = \lambda u$"
|
||||
#s/maths/algèbre
|
||||
|
||||
---
|
||||
up:
|
||||
- "[[objets associés à une matrice]]"
|
||||
tags:
|
||||
- "#s/maths/algèbre"
|
||||
---
|
||||
|
||||
|
||||
- I $u \neq \vec{0}$ tel que $\exists \lambda \in \mathbf{K}, Mu = \lambda u$
|
||||
|
||||
> [!definition] Vecteur propre d'une matrice
|
||||
> Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]]
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
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