From e23a1dead0f3dc3217617c906a108f9691fa0ac1 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: oskar Date: Sat, 13 Jun 2026 17:14:52 +0200 Subject: [PATCH] MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-6-13:17:14:51 --- .obsidian/hotkeys.json | 11 ++++++- .obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json | 2 +- addition de matrices.md | 9 +++--- comatrice.md | 8 +++-- ...trice symétrique et d'une antisymétrique.md | 12 ++++---- déterminant d'une matrice.md | 16 +++++----- ... forme bilinéaire associée à une matrice.md | 17 ++++++----- inverse d'une matrice.md | 14 +++++---- matrice adjointe.md | 10 ++++--- matrice antisymétrique.md | 27 ++++++++++------- ...ice associée à une application linéaire.md | 14 ++++++--- matrice conjuguée.md | 9 +++--- matrice d'un vecteur dans une base.md | 12 ++++---- matrice d'une forme bilinéaire.md | 14 +++++---- matrice d'une forme quadratique.md | 14 +++++---- matrice de rotation.md | 16 ++++++---- matrice de symétrie.md | 12 ++++---- matrice diagonale.md | 15 +++++----- matrice identité.md | 30 ++++++++++--------- matrice orthogonale.md | 12 ++++---- matrice stochastique.md | 10 ++++--- matrice symétrique.md | 18 +++++------ matrice transconjuguée.md | 10 ++++--- matrices modulaires.md | 7 +++-- matrices particulières.md | 16 ++++++++++ multiplication de matrices.md | 3 +- objets associés à une matrice.md | 16 ++++++++++ opérations sur les matrices.md | 7 +++++ ...e antisymétrique d'une forme bilinéaire.md | 6 ++-- partie symétrique d'une forme bilinéaire.md | 6 ++-- polynôme caractéristique d'une matrice.md | 20 ++++++++----- produit de hadamard.md | 8 +++-- trace d'une matrice.md | 15 ++++++---- transposée.md | 25 +++++++++------- valeur propre d'une matrice.md | 15 ++++++---- vecteur propre d'une matrice.md | 11 +++---- 36 files changed, 293 insertions(+), 174 deletions(-) rename forme bilinéaire d'une matrice.md => forme bilinéaire associée à une matrice.md (67%) create mode 100644 matrices particulières.md create mode 100644 objets associés à une matrice.md create mode 100644 opérations sur les matrices.md diff --git a/.obsidian/hotkeys.json b/.obsidian/hotkeys.json index 42f85438..3474cf24 100644 --- a/.obsidian/hotkeys.json +++ b/.obsidian/hotkeys.json @@ -1069,5 +1069,14 @@ ], "key": "L" } - ] + ], + "breadcrumbs:rebuild-graph": [ + { + "modifiers": [ + "Mod" + ], + "key": "R" + } + ], + "wikilinks-to-mdlinks-obsidian:toggle-wiki-md-links": [] } \ No newline at end of file diff --git a/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json b/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json index 1727faaf..23ee26cf 100644 --- a/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json +++ b/.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json @@ -286,7 +286,7 @@ "prevs" ], "lock_view": false, - "lock_path": "filtre.md", + "lock_path": "trace d'une matrice.md", "custom_sort_fields": false, "custom_sort_field_labels": [] }, diff --git a/addition de matrices.md b/addition de matrices.md index 56fa22f7..6c09efbd 100644 --- a/addition de matrices.md +++ b/addition de matrices.md @@ -1,7 +1,8 @@ -next:: [[next of addition de matrices]] -up::[[matrice]] -#s/maths/algèbre - +--- +up: + - "[[opérations sur les matrices]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- On additionne les matrices élément par élément (les deux matrices additionnées doivent donc avoir la même taille). diff --git a/comatrice.md b/comatrice.md index 07fd282c..281f268c 100644 --- a/comatrice.md +++ b/comatrice.md @@ -1,5 +1,9 @@ -up::[[matrice]] -#s/maths/algèbre +--- +up: + - "[[matrices particulières]]" + - "[[opérations sur les matrices]]" +tags: "#s/maths/algèbre" +--- > [!definition] [[comatrice]] > Soit $A$ une matrice de taille $n$ diff --git a/décomposition en somme d'une matrice symétrique et d'une antisymétrique.md b/décomposition en somme d'une matrice symétrique et d'une antisymétrique.md index 10e61e5e..886b3e17 100644 --- a/décomposition en somme d'une matrice symétrique et d'une antisymétrique.md +++ b/décomposition en somme d'une matrice symétrique et d'une antisymétrique.md @@ -1,11 +1,13 @@ --- -alias: [ "décomposition en matrice symétrique et antisymétrique" ] +alias: + - décomposition en matrice symétrique et antisymétrique +up: + - "[[opérations sur les matrices]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up:: [[matrice]] -title:: "toute matrice carrée se décompose en $S+A$, avec $\,^TS=S$ et $\,^TA=-A$" -#s/maths/algèbre ---- +- I toute matrice carrée se décompose en $S+A$, avec $\,^TS=S$ et $\,^TA=-A$ > [!definition] Décomposition d'une matrice en somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique > Soit $M\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ une matrice carrée diff --git a/déterminant d'une matrice.md b/déterminant d'une matrice.md index 0699c2c1..df7a2b2f 100644 --- a/déterminant d'une matrice.md +++ b/déterminant d'une matrice.md @@ -2,17 +2,17 @@ sr-due: 2022-09-21 sr-interval: 29 sr-ease: 291 -alias: [ "déterminant" ] +alias: + - déterminant +up: + - "[[opérations sur les matrices]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up::[[matrice]] -#s/maths/algèbre - ---- Soit $A$ une [[matrice]]. On note $\det(A)$ le _déterminant_ d'une matrice. - # Définition ## Matrices de taille 2 @@ -47,8 +47,8 @@ Cette méthode se base sur une formule de récurrence : - On note $A'_{i,j}$ la matrice obtenue en enlevant la ligne $i$ et la colonne $j$ de la matrice $A$ - On note $c_{i,j} = (-1)^{i+j}\times\det(A_{i,j})$ - On a alors : - - Développement par colonnes : $\disp\det(A) = \sum_{j=1}^n \left(c_{i,j}\times A'_{i,j}\right)$ - - Développement par lignes : $\disp\det(A) = \sum_{i=1}^n \left( c_{i,j}\times A'_{i,j} \right)$ + - Développement par colonnes : $\displaystyle\det(A) = \sum_{j=1}^n \left(c_{i,j}\times A'_{i,j}\right)$ + - Développement par lignes : $\displaystyle\det(A) = \sum_{i=1}^n \left( c_{i,j}\times A'_{i,j} \right)$ ### Définition en APL diff --git a/forme bilinéaire d'une matrice.md b/forme bilinéaire associée à une matrice.md similarity index 67% rename from forme bilinéaire d'une matrice.md rename to forme bilinéaire associée à une matrice.md index 58458a9b..159ff645 100644 --- a/forme bilinéaire d'une matrice.md +++ b/forme bilinéaire associée à une matrice.md @@ -1,11 +1,13 @@ --- -alias: [ "forme bilinéaire associée à une matrice", "forme bilinéaire associée" ] ---- -up:: [[forme bilinéaire]], [[matrice]] -sibling:: [[matrice d'une forme bilinéaire]] -title:: $f(X, Y) = \,^TX \times M \times Y$ -#s/maths/algèbre - +alias: + - forme bilinéaire associée à une matrice + - forme bilinéaire associée +up: + - "[[forme bilinéaire]]" + - "[[objets associés à une matrice]]" +sibling: "[[matrice d'une forme bilinéaire]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- > [!definition] forme bilinéaire d'une matrice @@ -14,7 +16,6 @@ title:: $f(X, Y) = \,^TX \times M \times Y$ > $\boxed{f(X, Y) = \,^TX \times M \times Y}$ ^definition - # Explication $f((x_1, x_2, \dots,x_{n}), (y_1,y_2,\dots,y_{n})) = \begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_{n}\\\end{pmatrix} \times M \times \begin{pmatrix}y_1\\ y_2 \\ \vdots \\ y_{n}\end{pmatrix}$ diff --git a/inverse d'une matrice.md b/inverse d'une matrice.md index 5f2d23ff..a9ecb2b9 100644 --- a/inverse d'une matrice.md +++ b/inverse d'une matrice.md @@ -1,12 +1,14 @@ --- -alias: "inverse" +alias: inverse +up: + - "[[opérations sur les matrices]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up::[[matrice]] -title::"$M^{-1}$ telle que $M^{-1}\times M= M \times M^{-1} = \mathrm{Id}$" -#s/maths/algèbre ----- -Soit $M$ une [[matrice]]. On note $M^{-1}$ la matrice _inverse_ de $M$, si elle existe, la matrice telle que $M\times M^{-1} = M^{-1}\times M = Id$ la [[matrice identité]] +> [!definition] [[inverse d'une matrice]] +> Soit $M$ une [[matrice]]. On note $M^{-1}$ la matrice _inverse_ de $M$, si elle existe, la matrice telle que $M\times M^{-1} = M^{-1}\times M = Id$ la [[matrice identité]] +^definition # Matrice inversible Soit $A$ une matrice, elle est dite _inversible_ si $\exists B, AB=BA=Id$ diff --git a/matrice adjointe.md b/matrice adjointe.md index 1b1d3fec..e797dec7 100644 --- a/matrice adjointe.md +++ b/matrice adjointe.md @@ -1,7 +1,9 @@ -up:: [[matrice]], [[endomorphisme adjoint]] -title:: "sur $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{C})$: [[matrice transconjuguée]]", "matrices carrées : [[endomorphisme adjoint]]" -#s/maths/algèbre - +--- +up: + - "[[endomorphisme adjoint]]" + - "[[opérations sur les matrices]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- > [!definition] matrice adjointe diff --git a/matrice antisymétrique.md b/matrice antisymétrique.md index a5b80c95..f0df15c5 100644 --- a/matrice antisymétrique.md +++ b/matrice antisymétrique.md @@ -1,18 +1,23 @@ --- -alias: [ "antisymétrique" ] +alias: + - antisymétrique +up: + - "[[matrices particulières]]" +sibling: "[[matrice symétrique]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up::[[matrice]] -sibling:: [[matrice symétrique]] -title::"$M^{T} = -M$ ([[transposée]])" -#s/maths/algèbre ----- -Soit $M\in M_{n,n}(\mathbb{R})$ une [[matrice]], $M$ est _antisymétrique_ ssi : -$M^{T}=-M$ (Sa transposée est son opposé). +- I $M^{T} = -M$ ([[transposée]]) -Cela veut dire que : - - Sa diagonale est nulle - - $\forall (i,j)\in[\![0;n]\!]^2, M_{i,j} = -M_{j,i}$ +> [!definition] [[matrice antisymétrique]] +> Soit $M\in M_{n,n}(\mathbb{R})$ une [[matrice]], $M$ est _antisymétrique_ ssi : +> $M^{T}=-M$ (Sa transposée est son opposé). +> +> Cela veut dire que : +> - Sa diagonale est nulle +> - $\forall (i,j)\in[\![0;n]\!]^2, M_{i,j} = -M_{j,i}$ +^definition # Exemple $$M = \begin{pmatrix}0&-2&4\\ 2&0&7\\ -4&-7&0 \end{pmatrix}$$ diff --git a/matrice associée à une application linéaire.md b/matrice associée à une application linéaire.md index cd32ed2c..59cecd00 100644 --- a/matrice associée à une application linéaire.md +++ b/matrice associée à une application linéaire.md @@ -1,10 +1,16 @@ --- -alias: [ "application linéaire associée à une matrice", "matrice associée", "application linéaire associée", "matrice d'un application linéaire" ] +alias: + - application linéaire associée à une matrice + - matrice associée + - application linéaire associée + - matrice d'un application linéaire +up: + - "[[application linéaire]]" + - "[[objets associés à une matrice]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up::[[application linéaire]], [[matrice]] -#s/maths/algèbre ----- Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$-[[espace vectoriel|espaces vectoriels]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] finie, de [[base d'un espace vectoriel|base]] respective $\mathcal B = \{e_1,\ldots,e_n\}$ et $\mathcal C = \{f_1,\ldots,f_n\}$, Soit $f$ une [[application linéaire]] de $E$ dans $F$. Soit $x\in E$, diff --git a/matrice conjuguée.md b/matrice conjuguée.md index bcad4363..1d8c9439 100644 --- a/matrice conjuguée.md +++ b/matrice conjuguée.md @@ -1,7 +1,8 @@ -up:: [[matrice]] -title:: $\overline{M}_{i,j} = \overline{(M_{i,j})}$ -#s/maths/algèbre - +--- +up: + - "[[opérations sur les matrices]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- > [!definition] matrice conjuguée diff --git a/matrice d'un vecteur dans une base.md b/matrice d'un vecteur dans une base.md index 032bc8bb..bebe97f9 100644 --- a/matrice d'un vecteur dans une base.md +++ b/matrice d'un vecteur dans une base.md @@ -1,7 +1,9 @@ -up::[[matrice]] -#s/maths/algèbre - ----- +--- +up: + - "[[objets associés à une matrice]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" +--- # matrice d'un vecteur dans une base Soit $E$ un [[espace vectoriel]] réel de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$, @@ -9,10 +11,10 @@ Soit $\scr B = \{e_1,\ldots,e_n\}$ une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $E Un vecteur $x$ de $E$ se décompose de façon unique sous la forme $x = x_1e_1+\cdots+x_ne_n$ avec $(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$ $\mathrm{Mat}_{\scr B}(x) = [x]_{\scr B} = \begin{pmatrix} x_1\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}$ + # Propriétés L'[[application]] $x\mapsto [x]_{\scr B}$ est [[application linéaire|linéaire]] de $E$ dans $\mathbb{R}^n$. - # Exemple Les vecteurs $u_1 = \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$, $u_2 = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$, $u_3 = \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}$ forment une [[base d'un espace vectoriel|base]] de $\mathbb{R}^3$ Le vecteur $v = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}$ se décompose sous la forme $xu_1+yu_2+zu_3$, soit : diff --git a/matrice d'une forme bilinéaire.md b/matrice d'une forme bilinéaire.md index 10e44c35..c4514bbb 100644 --- a/matrice d'une forme bilinéaire.md +++ b/matrice d'une forme bilinéaire.md @@ -1,11 +1,15 @@ --- -alias: [ "matrice associée à une forme bilinéaire", "matrice associée" ] +alias: + - matrice associée à une forme bilinéaire + - matrice associée +up: + - "[[forme bilinéaire|forme bilinéaire]]" + - "[[objets associés à une matrice]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up:: [[forme bilinéaire|forme bilinéaire]], [[matrice]] -title:: "$M_{i,j} = f(e_{i}, e_{j})$" -#s/maths/algèbre ---- +- I $M_{i,j} = f(e_{i}, e_{j})$ > [!definition] matrice d'une forme bilinéaire > Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$ muni d'une base $\mathcal{B} = (e_1, e_2, \dots, e_{n})$ diff --git a/matrice d'une forme quadratique.md b/matrice d'une forme quadratique.md index bcaf315e..1d2f3c19 100644 --- a/matrice d'une forme quadratique.md +++ b/matrice d'une forme quadratique.md @@ -1,11 +1,15 @@ --- -alias: [ "matrice associée à une forme quadratique", "matrice associée" ] +alias: + - matrice associée à une forme quadratique + - matrice associée +up: + - "[[forme quadratique]]" + - "[[objets associés à une matrice]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up:: [[forme quadratique]], [[matrice]] -title:: "matrice $M$ [[matrice symétrique|symétrique]] telle que $\varphi(x) = \,^T\!xMx$" -#s/maths/algèbre ---- +- I matrice $M$ [[matrice symétrique|symétrique]] telle que $\varphi(x) = \,^T\!xMx$ > [!definition] matrice d'une forme quadratique > Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] de [[dimension d'un espace vectoriel|dimension]] $n$ diff --git a/matrice de rotation.md b/matrice de rotation.md index ad2ccde8..c22ee6eb 100644 --- a/matrice de rotation.md +++ b/matrice de rotation.md @@ -1,12 +1,16 @@ --- -alias: [ "rotation" ] +alias: + - rotation +up: + - "[[rotation]]" + - "[[matrice orthogonale]]" +sibling: "[[matrice de symétrie]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up::[[matrice]], [[rotation]], [[matrice orthogonale]] -sibling:: [[matrice de symétrie]] -title::"[[matrice orthogonale]] de [[déterminant d'une matrice|déterminant]] 1", "$\begin{pmatrix}a&b\\ b&-a\end{pmatrix}$ avec $a^{2}+b^{2}=1$ en 2D" -#s/maths/algèbre ---- +- I [[matrice orthogonale]] de [[déterminant d'une matrice|déterminant]] 1 + - en 2D : $\begin{pmatrix}a&b\\ b&-a\end{pmatrix}$ avec $a^{2}+b^{2}=1$ > [!definition] Matrice de rotation > Une **matrice de rotation** est une [[matrice orthogonale]] de [[déterminant d'une matrice|déterminant]] $1$ diff --git a/matrice de symétrie.md b/matrice de symétrie.md index bced22b5..49bb1e95 100644 --- a/matrice de symétrie.md +++ b/matrice de symétrie.md @@ -1,8 +1,10 @@ -up::[[matrice]], [[symétrie vectorielle orthogonale]] -sibling:: [[matrice de rotation]] -title:: -#s/maths/algèbre - +--- +up: + - "[[symétrie vectorielle orthogonale]]" + - "[[matrices particulières]]" +sibling: "[[matrice de rotation]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- > [!definition] Matrice de rotation diff --git a/matrice diagonale.md b/matrice diagonale.md index b7eab82e..52bf9b5f 100644 --- a/matrice diagonale.md +++ b/matrice diagonale.md @@ -1,16 +1,17 @@ -up::[[matrice]] -title::"telle que $i\neq j \implies M_{i,j} = 0$" -description::"seuls les éléments de sa diagonale sont non-nuls" -#s/maths/algèbre - ----- -Une *matrice diagonale* est une [[matrice]] particulière telle que seuls les éléments de sa diagonale sont non nuls. +--- +up: + - "[[matrices particulières]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" +--- > [!definition] > Soit $M \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbf{K})$ une matrice de taille $m\times n$. > $M$ est une _matrice diagonale_ si $\forall (i,j)\in [\![0,m]\!]\times[\![0,n]\!], i\neq j \implies M_{ij} = 0$ ^definition +- I Une *matrice diagonale* est une [[matrice]] telle que seuls les éléments de sa diagonale sont non nuls. + # Propriétés Soit $D$ une matrice diagonale diff --git a/matrice identité.md b/matrice identité.md index 8568c47c..5e1c3cb3 100644 --- a/matrice identité.md +++ b/matrice identité.md @@ -1,19 +1,21 @@ -up::[[matrice]] -title::"$\mathrm{Id}_{i,j} = \delta _{i,j} = [i=j]$" -#s/maths/algèbre +--- +up: + - "[[matrices particulières]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" +--- ----- +> [!definition] [[matrice identité]] La matrice identité de taille $n$ est la [[matrice]] $Id_n$ telle que : - -$$\forall (i,j)\in[\![1;n]\!]^2, -Id_{n_{i,j}} = -\left\{\begin{gathered} -1 \text{ si } i = j\\ -0 \text{ sinon} -\end{gathered} -\right.$$ -Autre définition : $\forall(i,j)\in[\![1;n]\!], Id_{n_{i,j}} = \delta_{i,j}$ où $\delta$ est le [[symbole de kronecker]]. - +> $$\forall (i,j)\in[\![1;n]\!]^2, +> Id_{n_{i,j}} = +> \left\{\begin{gathered} +> 1 \text{ si } i = j\\ +> 0 \text{ sinon} +> \end{gathered} +> \right.$$ +> Autre définition : $\forall(i,j)\in[\![1;n]\!], Id_{n_{i,j}} = \delta_{i,j}$ où $\delta$ est le [[symbole de kronecker]]. +^definition # Propriétés - $Id$ est l'élément neutre des matrices pour la [[multiplication de matrices]] : $Id\times M = M\times Id = M$ diff --git a/matrice orthogonale.md b/matrice orthogonale.md index ed379510..2c7700c5 100644 --- a/matrice orthogonale.md +++ b/matrice orthogonale.md @@ -1,11 +1,13 @@ --- -alias: [ "orthogonale" ] +alias: + - orthogonale +up: + - "[[matrices particulières]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up:: [[matrice]] -title:: "$\,^T\!M M = Id$" -#s/maths/algèbre ---- +- I $\,^T\!M M = Id$ > [!definition] Matrice orthogonale > Soit $\mathbf{K}$ un corps diff --git a/matrice stochastique.md b/matrice stochastique.md index 8eceb2ff..a88bac58 100644 --- a/matrice stochastique.md +++ b/matrice stochastique.md @@ -1,7 +1,9 @@ -up:: [[matrice]] -title:: "coefficients dans $[0, 1]$", "somme des lignes vaut 1" -#s/maths/algèbre #s/maths/probabilités - +--- +up: + - "[[matrices particulières]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" + - "#s/maths/probabilités" --- > [!definition] Matrice stochastique diff --git a/matrice symétrique.md b/matrice symétrique.md index dae34599..84063cec 100644 --- a/matrice symétrique.md +++ b/matrice symétrique.md @@ -1,20 +1,20 @@ --- -alias: [ "symétrique" ] +alias: + - symétrique +up: + - "[[matrices particulières]]" +sibling: "[[matrice antisymétrique]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up::[[matrice]] -sibling:: [[matrice antisymétrique]] -title::"telle que $M = M^{T}$ ([[transposée]])" -#s/maths/algèbre - ----- > [!definition] > Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K})$ une [[matrice]], > $M$ est une _matrice symétrique_ ssi : -> $M = \,^TM$ +> $\boxed{M = \,^TM}$ > c'est-à-dire si elle est égale à sa [[transposée]]. > -> - [I] Visuellement, cela veut dire que la matrice est symétrique par rapport à sa diagonale. +> - I Visuellement, cela veut dire que la matrice est symétrique par rapport à sa diagonale. ^definition # Exemple diff --git a/matrice transconjuguée.md b/matrice transconjuguée.md index d30472c3..704340ec 100644 --- a/matrice transconjuguée.md +++ b/matrice transconjuguée.md @@ -1,9 +1,11 @@ -up:: [[matrice]] -title:: "[[transposée]] du [[conjugé complexe]] de chaque valeur" -#s/maths/algèbre - +--- +up: + - "[[opérations sur les matrices]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- +- I [[transposée]] du [[conjugé complexe]] de chaque valeur > [!definition] matrice transconjuguée > Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$ une matrice > On note $\,^T\overline{M}$ la **transconjuguée** de $M$, la [[transposée]] de la [[matrice conjuguée]] de $M$. diff --git a/matrices modulaires.md b/matrices modulaires.md index 0df3b5a4..0a9fd4a2 100644 --- a/matrices modulaires.md +++ b/matrices modulaires.md @@ -1,9 +1,12 @@ --- aliases: - matrice modulaire +up: + - "[[groupe des classes modulo n]]" + - "[[matrices particulières]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up:: [[matrice]], [[groupe des classes modulo n]] -#s/maths/algèbre > [!definition] [[matrices modulaires]] > Soient $m, n \in \mathbb{N}_{\geq 2}$ diff --git a/matrices particulières.md b/matrices particulières.md new file mode 100644 index 00000000..3959f1b9 --- /dev/null +++ b/matrices particulières.md @@ -0,0 +1,16 @@ +--- +up: + - "[[matrice]]" +tags: + - s/maths/algèbre +aliases: +--- + +```breadcrumbs +title: "Sous-notes" +type: tree +collapse: true +show-attributes: [field] +field-groups: [downs] +depth: [0, 0] +``` diff --git a/multiplication de matrices.md b/multiplication de matrices.md index 1712cab7..ec4a5c22 100644 --- a/multiplication de matrices.md +++ b/multiplication de matrices.md @@ -1,5 +1,6 @@ --- -up: "[[matrice]]" +up: + - "[[opérations sur les matrices]]" tags: - "#s/maths/algèbre" aliases: diff --git a/objets associés à une matrice.md b/objets associés à une matrice.md new file mode 100644 index 00000000..3959f1b9 --- /dev/null +++ b/objets associés à une matrice.md @@ -0,0 +1,16 @@ +--- +up: + - "[[matrice]]" +tags: + - s/maths/algèbre +aliases: +--- + +```breadcrumbs +title: "Sous-notes" +type: tree +collapse: true +show-attributes: [field] +field-groups: [downs] +depth: [0, 0] +``` diff --git a/opérations sur les matrices.md b/opérations sur les matrices.md new file mode 100644 index 00000000..6b7dfac2 --- /dev/null +++ b/opérations sur les matrices.md @@ -0,0 +1,7 @@ +--- +up: + - "[[matrice]]" +tags: + - s/maths/algèbre +aliases: +--- diff --git a/partie antisymétrique d'une forme bilinéaire.md b/partie antisymétrique d'une forme bilinéaire.md index 624303a0..be9b5569 100644 --- a/partie antisymétrique d'une forme bilinéaire.md +++ b/partie antisymétrique d'une forme bilinéaire.md @@ -1,6 +1,6 @@ up:: [[matrice d'une forme bilinéaire]] sibling:: [[partie symétrique d'une forme bilinéaire]] -title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$" +title:: "[[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$" #s/maths/algèbre --- @@ -8,10 +8,10 @@ title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [ > [!definition] partie antisymétrique d'une forme bilinéaire > Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] > Soit $f: E^{2} \to \mathbf{K}$ une [[forme bilinéaire]] de $E$ -> On appelle **partie antisymétrique de $f$** la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$ +> On appelle **partie antisymétrique de $f$** la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$ > > Soit $M$ la matrice de $f$. > La [[partie antisymétrique d'une matrice|partie antisymétrique]] de $M$ est $\frac{1}{2}(M - \,^TM)$ -> Donc, la partie antisymétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M - \,^TM)$ +> Donc, la partie antisymétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M - \,^TM)$ ^definition diff --git a/partie symétrique d'une forme bilinéaire.md b/partie symétrique d'une forme bilinéaire.md index 388c4d1d..909937b9 100644 --- a/partie symétrique d'une forme bilinéaire.md +++ b/partie symétrique d'une forme bilinéaire.md @@ -1,6 +1,6 @@ up:: [[matrice d'une forme bilinéaire]] sibling:: [[partie symétrique d'une forme bilinéaire]] -title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$" +title:: "[[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$" #s/maths/algèbre --- @@ -8,10 +8,10 @@ title:: "[[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [ > [!definition] partie symétrique d'une forme bilinéaire > Soit $E$ un $\mathbf{K}$-[[espace vectoriel]] > Soit $f: E^{2} \to \mathbf{K}$ une [[forme bilinéaire]] de $E$ -> On appelle **partie symétrique de $f$** la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$ +> On appelle **partie symétrique de $f$** la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à la [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de la [[matrice d'une forme bilinéaire|matrice]] de $f$ > > Soit $M$ la matrice de $f$. > La [[partie symétrique d'une matrice|partie symétrique]] de $M$ est $\frac{1}{2}(M + \,^TM)$ -> Donc, la partie symétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire d'une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M+\,^TM)$ +> Donc, la partie symétrique de $f$ est la [[forme bilinéaire associée à une matrice|forme bilinéaire associée]] à $\frac{1}{2}(M+\,^TM)$ ^definition diff --git a/polynôme caractéristique d'une matrice.md b/polynôme caractéristique d'une matrice.md index 0771cdd1..7ee8ee85 100644 --- a/polynôme caractéristique d'une matrice.md +++ b/polynôme caractéristique d'une matrice.md @@ -1,23 +1,27 @@ --- -alias: [ "matrice polynôme caractéristique" ] +alias: + - matrice polynôme caractéristique +up: + - "[[endomorphisme linéaire]]" + - "[[objets associés à une matrice]]" +sibling: "[[polynôme caractéristique d'un endomorphisme linéaire]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up:: [[matrice]], [[endomorphisme linéaire]] -sibling:: [[polynôme caractéristique d'un endomorphisme linéaire]] -title:: "$\det(M - \lambda \text{Id}_{n})$" -#s/maths/algèbre ---- +- I $\det(M - \lambda \cdot \operatorname{Id}_{n})$ + > [!definition] polynôme caractéristique > Soit $M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbf{K})$ une [[matrice]] carrée > Le [[polynôme]] caractéristique de $M$ est : -> $\det(M - \lambda \text{Id}_{n})$ +> $\det(M - \lambda \operatorname{ID}_{n})$ > C'est un polynôme dont les [[racines d'un polynôme|racines]] sont les [[valeur propre d'une matrice|valeurs propres]] de $M$ ^definition > [!definition] [[polynôme caractéristique d'une matrice]] > Soit $M$ une matrice carrée -> $\det(X \mathrm{Id}_{n} - M)$ est le polynôme caractéristique de $M$ +> $\det(X \operatorname{Id}_{n} - M)$ est le polynôme caractéristique de $M$ # Propriétés diff --git a/produit de hadamard.md b/produit de hadamard.md index b73b99a9..ba4100d7 100644 --- a/produit de hadamard.md +++ b/produit de hadamard.md @@ -1,5 +1,9 @@ -up:: [[matrice]] -#s/maths/algèbre +--- +up: + - "[[opérations sur les matrices]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" +--- > [!definition] [[produit de hadamard]] > Soient $A$ et $B$ des matrices de même dimension, le produit de hadamard $A \odot B$ est la produit terme-à-terme de $A$ et de $B$ : diff --git a/trace d'une matrice.md b/trace d'une matrice.md index aca8a107..dc24f2d5 100644 --- a/trace d'une matrice.md +++ b/trace d'une matrice.md @@ -1,12 +1,15 @@ --- -alias: "trace" +alias: trace +up: + - "[[objets associés à une matrice]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up::[[matrice]] -title::$\mathrm{Tr}(M) = \sum\limits_{k} M_{k,k}$ -#s/maths/algèbre ----- -La *trace* d'une [[matrice]] **carrée** est la somme de ses coefficients diagonaux. +> [!definition] [[trace d'une matrice]] +> La *trace* d'une [[matrice]] **carrée** est la somme de ses coefficients diagonaux. +> $\operatorname{Tr}(M) = \sum\limits_{k} M_{k,k}$ +^definition # Notation diff --git a/transposée.md b/transposée.md index 6ecb8948..682bf8f2 100644 --- a/transposée.md +++ b/transposée.md @@ -1,17 +1,20 @@ --- -alias: [ "transposée d'une matrice", "matrice transposée", "transposition" ] +alias: + - transposée d'une matrice + - matrice transposée + - transposition +up: + - "[[opérations sur les matrices]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up::[[matrice]] -title::"$M^{T}_{i,j}=M_{j,i}$" -#s/maths/algèbre - ----- - -Soit $M$ une [[matrice|matrice]] de dimension $(m, n)$. -La _transposée_ de $M$ est la matrice $M^T$ (ou $^TM$) telle que : - - $M^T$ est de dimension $(n, m)$ - - $M^T_{i, j} = M_{j, i}$ +> [!definition] [[transposée]] +> Soit $M$ une [[matrice|matrice]] de dimension $(m, n)$. +> La _transposée_ de $M$ est la matrice $M^T$ (ou $^TM$) telle que : +> - $M^T$ est de dimension $(n, m)$ +> - $\boxed{M^T_{i, j} = M_{j, i}}$ +^definition # Exemple Soit $M=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\5&7&144\\42&73&28\end{array}\right)$ diff --git a/valeur propre d'une matrice.md b/valeur propre d'une matrice.md index d3309a54..7f08162a 100644 --- a/valeur propre d'une matrice.md +++ b/valeur propre d'une matrice.md @@ -1,12 +1,15 @@ --- -alias: [ "valeur propre", "valeurs propres" ] +alias: + - valeur propre + - valeurs propres +up: + - "[[objets associés à une matrice]]" +sibling: "[[valeur propre d'une application linéaire]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- -up:: [[matrice]] -sibling:: [[valeur propre d'une application linéaire]] -title:: "$\lambda$ tel que $\exists u \neq \vec{0}, Mu = \lambda u$" -#s/maths/algèbre ---- +- I $\lambda$ tel que $\exists u \neq \vec{0}, Mu = \lambda u$ > [!definition] Valeur propre d'une matrice > Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]] diff --git a/vecteur propre d'une matrice.md b/vecteur propre d'une matrice.md index 8d03cc4b..f3ed39e1 100644 --- a/vecteur propre d'une matrice.md +++ b/vecteur propre d'une matrice.md @@ -1,10 +1,11 @@ -up:: [[matrice]] -title:: "$u \neq \vec{0}$ tel que $\exists \lambda \in \mathbf{K}, Mu = \lambda u$" -#s/maths/algèbre - +--- +up: + - "[[objets associés à une matrice]]" +tags: + - "#s/maths/algèbre" --- - +- I $u \neq \vec{0}$ tel que $\exists \lambda \in \mathbf{K}, Mu = \lambda u$ > [!definition] Vecteur propre d'une matrice > Soit $\mathbf{K}$ un [[corps]]