device-127.home 2026-2-12:17:35:34

fonction récursive primitive.md

@@ -143,6 +143,22 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 > > Ce qui montre, dans tous les cas, que $\operatorname{sg}$ est récursive primitive
 
 > [!proposition]+ Le prédicat $x>y$ est récursif primitif
-> Le prédiat $x>y$ est récursif primitif (c'est-à-dire que l'ensemble $\{ (x, y)  \mid x>y \}$ est [[ensemble récursif primitif|récursif primitif]])
+> Le prédiat $x>y$ est récursif primitif.
+>  - dem ce prédicat est équivalent à $\operatorname{sg}(x \dot{-}y)$
+
+## Propriétés de clôture
+
+> [!proposition]+ clôture par substitution de variables
+> L'ensemble des fonctions récursives primitives est **clos par substitution de variables** :
+> Soit $f \in \mathscr{F}_{p}$ récursive primitive 
+> Soit $\sigma : [\![1; p]\!] \to [\![1;p]\!]$
+> Alors la fonction $\lambda x_1 x_2\dots x_{p}. f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \dots, x_{\sigma(p)})$ est aussi récursive primitive
+>  - dem cette fonction est égale à $f(P_{p}^{\sigma(1)}, P_{p}^{\sigma(2)}, \dots, P_{p}^{\sigma(p)})$
+
+> [!proposition]+ 
+> Si $A \subseteq \mathbb{N}^{n}$ est [[ensemble récursif primitif|récursif primitif]] et si $f_1, f_2, \dots, f_{n} \in \mathscr{F}_{p}$ sont récursives primitives
+> Alors l'ensemble :
+> $\{ (x_1, x_2, \dots, x_{p}) \mid (f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p})) \in A \}$
+> est aussi récursif primitif (sa fonction caractéristique est $\chi _{A}(f_1, f_2, \dots, f_{n})$)
 
 # Exemples