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sous groupe.md

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-sr-due: 2022-08-20
-sr-interval: 4
-sr-ease: 288
-alias: [ "sous groupes" ]
+aliases:
+  - sous groupes
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 up::[[groupe]]
 #maths/algèbre
@@ -28,7 +26,7 @@ up::[[groupe]]
 
 # Propriétés
 
-> [!proposition] Proposition
+> [!proposition] Conditions pour être un sous groupe
 > Soit $G$ un groupe 
 > Une partie $H \subseteq G$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :
 > - $H \neq \emptyset$
@@ -39,7 +37,7 @@ up::[[groupe]]
 > 
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > 1. $\implies$
-> > Soit $H$ un [[sous-groupe]] de $G$
+> > Soit $H$ un [[[[sous groupe]]e $G$
 > > On sait que $e_{G} \in H$, donc $\boxed{H \neq \emptyset}$
 > > Pour $x, y \in H$, on sait que $y^{-1} \in H$ (car $H$ est un groupe)
 > > donc $\boxed{xy^{-1} \in H}$
@@ -59,9 +57,10 @@ up::[[groupe]]
 > >  
 > > Comme on a montré l'implication dans les deux sens, on a bien démontré l'équivalence
 > > 
+^condition-sous-groupe
 
-> [!proposition] Proposition
-> Si $H$ est un [[sous-groupe]] de $G$
+> [!proposition] Sous groupe d'un [[produit direct de groupes]]
+> Si $H$ est un [[sous groupe]] de $G$
 > Soit $\tilde{*}$ une loi définie comme :
 > $\begin{align} \tilde{*} : & H \times H \to H \\ &(h, h') \mapsto h \tilde{*} h' := h*h' \end{align}$
 > alors $(H, \tilde{*})$ est un groupe
@@ -76,33 +75,28 @@ up::[[groupe]]
 > > Donc $e_{G}$ est bien le neutre de $(H, \tilde{*})$
 > > - existence de l'inverse
 > > Soit $h \in H$, on a $h \in G$; ainsi, si $h^{-1}$ est l'inverse de $h$ dans $G$, on a :
-> > $\begin{cases} h * h^{-1} = h^{-1} * h = e_{G} \\ h^{-1} \in H \end{cases}$ car $H$ est un [[sous-groupe]] de $G$
+> > $\begin{cases} h * h^{-1} = h^{-1} * h = e_{G} \\ h^{-1} \in H \end{cases}$ car $H$ est un [[[[sous groupe]]e $G$
 > > et donc : $\begin{cases} h^{-1} \in H \\ h \tilde{*} h^{-1} = h^{-1} \tilde{*} h = e_{G} = e_{H} \end{cases}$
 > 
+^sous-groupe-produit-direct
 
- - Soit $(G, *)$ un groupe et $(H_i)$ une famille quelconque de sous-groupes. Alors : $\cap_{i}H_{i}$ est également un sous-groupe de $(G, *)$
+> [!proposition]+ Stabilité par intersection dénombrable
+> Soit $(G, *)$ un groupe
+> Soit $(H_i)_{i \in \mathbb{N}}$ une famille quelconque de sous groupes de $(G, *)$.
+> $\displaystyle\bigcap_{i\in \mathbb{N}}H_{i}$ est également un sous groupe de $(G, *)$
+^stabilite-intersection
 
 # Exemples 
 
 
 > [!example] Sous groupes classiques
-> $\mathbb{Z}$ est un [[sous-groupe]] de $\mathbb{Q}$ qui est un [[sous-groupe]] de $\mathbb{R}$ qui est un [[sous-groupe]] de $\mathbb{C}$ 
-
+> $\mathbb{Z}$ est un [[[[sous groupe]]e $\mathbb{Q}$ qui est un [[[[sous groupe]]e $\mathbb{R}$ qui est un [[[[sous groupe]]e $\mathbb{C}$ 
 
 > [!example] $\mathbb{R}^{*}$ n'est pas un sous groupe de $\mathbb{R}$
 > En effet, la loi sous-entendue sur $\mathbb{R}^{*}$ est $\times$, alors que la loi sous-entendue sur $\mathbb{R}$ est $+$.
-> Un [[sous-groupe]] à toujours la même loi le groupe.
+> Un [[[[sous groupe]] toujours la même loi le groupe.
 > De la même manière :
-> - $GL_{n}(\mathbb{C})$ n'est pas un [[sous-groupe]] de $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$
-> - $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times}$ n'est pas un [[sous-groupe]] de $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$
+> - $GL_{n}(\mathbb{C})$ n'est pas un [[[[sous groupe]]e $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$
+> - $(\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times}$ n'est pas un [[[[sous groupe]]e $\mathbb{Z} / n\mathbb{Z}$
+
 
-> [!smallquery]+ Sous-notes de `$= dv.el("span", "[[" + dv.current().file.name + "]]")`
-> ```breadcrumbs
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