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sous groupes

up::groupe #maths/algèbre

[!definition] sous groupe Soit (G, *) un groupe Soit H \subseteq G une partie de G On dit que H est un sous-groupe de G si :

1. e_{G} \in H H (contient l'élément neutre)
2. \forall h, h' \in H \quad h*h' \in H (H est stable par *)
3. \forall h \in H, \quad h^{-1} \in H (H est stable par éléments inversibles)
   • I pour montrer que H est un sous-groupe, on a pas besoin de montrer que h^{-1} existe (car H est déjà un groupe), mais seulement qu'il est dans H ^definition

[!definition] sous groupe Soit H un sous-ensemble non vide d'un groupe G muni d'une loi *. (H, *) est un sous-groupe de (G, *) ssi :

• * est une loi de composition interne sur H : \forall (h_1,h_2)\in H^2, h_1*h_2\in H
• \forall h\in H, h^{-1}\in H : tous les éléments de H ont leur éléments inversibles dans H aussi
  • Alors h*h^{-1}\in H, donc cette propriété implique que (H,*) possède un élément neutre

On sait aussi que (H,*) est commutatif et associatif car (G,*) l'est, et que H\subset G

Propriétés

[!proposition] Conditions pour être un sous groupe Soit G un groupe Une partie H \subseteq G est un sous-groupe de G si et seulement si :

• H \neq \emptyset

• \forall (x, y) \in H^{2}, \quad xy^{-1} \in H

• ? Sauf dans les cas où les calculs sont très faciles, on préfère utiliser la définition Si on l'utilise, pour montrer H \neq \emptyset, il suffit de montrer que e_{G} \in H

[!démonstration]- Démonstration

1. \implies Soit H un [[sous groupee G On sait que e_{G} \in H, donc \boxed{H \neq \emptyset} Pour x, y \in H, on sait que y^{-1} \in H (car H est un groupe) donc \boxed{xy^{-1} \in H}
2. \impliedby
   1. H contient l'élément neutre H \neq 0, on peut donc prendre un élément h_0 \in H On a h_0 * h_0^{-1} \in H car h_0 \in H Or, h_0*h_0^{-1} = e_{G} donc \boxed{e_{G} \in H}
   2. H est stable par éléments inversibles Soit h \in H, on a e_{G}, h \in H donc e_{G}h^{-1} \in H Alors, on a bien \boxed{h^{-1} \in H}
   3. H est stable par * Soient h, h' \in H On a vu que h'^{-1} \in H alors h*(h' ^{-1})^{-1} \in H soit \boxed{h*h' \in H}

Comme on a montré l'implication dans les deux sens, on a bien démontré l'équivalence

^condition-sous-groupe

[!proposition] Sous groupe d'un produit direct de groupes Si H est un sous groupe de G Soit \tilde{*} une loi définie comme : \begin{align} \tilde{*} : & H \times H \to H \\ &(h, h') \mapsto h \tilde{*} h' := h*h' \end{align} alors (H, \tilde{*}) est un groupe

[!démonstration]- Démonstration

• H \neq \emptyset car e_{G} \in H par définition
• \tilde{*} est associative En effet, \forall (h, h', h'') \in H^{3} : \begin{align} h \tilde{*} (h' \tilde{*} h'') &= h \tilde{*} \underbracket{h' \tilde{*} h''}_{\in H} \\&= h * (h' * h'') \\&= \underbracket{(h * h')}_{\in H} * h'' \\&= (h*h')\tilde{*}h''\\&= (h \tilde{*} h') \tilde{*} h'' \end{align}
• existence du neutre Par défninion on a e_{G} \in H, et : \forall h \in H, \quad h \tilde{*} e_{G} = h*e_{G} = h = e_{G}*h = e_{G} \tilde{*} h Donc e_{G} est bien le neutre de (H, \tilde{*})
• existence de l'inverse Soit h \in H, on a h \in G; ainsi, si h^{-1} est l'inverse de h dans G, on a : \begin{cases} h * h^{-1} = h^{-1} * h = e_{G} \\ h^{-1} \in H \end{cases} car H est un [[sous groupee G et donc : \begin{cases} h^{-1} \in H \\ h \tilde{*} h^{-1} = h^{-1} \tilde{*} h = e_{G} = e_{H} \end{cases}

^sous-groupe-produit-direct

[!proposition]+ Stabilité par intersection dénombrable Soit (G, *) un groupe Soit (H_i)_{i \in \mathbb{N}} une famille quelconque de sous groupes de (G, *). \displaystyle\bigcap_{i\in \mathbb{N}}H_{i} est également un sous groupe de (G, *) ^stabilite-intersection

Exemples

[!example] Sous groupes classiques \mathbb{Z} est un [[sous groupee \mathbb{Q} qui est un [[sous groupee \mathbb{R} qui est un [[sous groupee \mathbb{C}

[!example] \mathbb{R}^{*} n'est pas un sous groupe de \mathbb{R} En effet, la loi sous-entendue sur \mathbb{R}^{*} est \times, alors que la loi sous-entendue sur \mathbb{R} est +. Un [[sous groupe toujours la même loi le groupe. De la même manière :

• GL_{n}(\mathbb{C}) n'est pas un [[sous groupee \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})
• (\mathbb{Z} / n\mathbb{Z})^{\times} n'est pas un [[sous groupee \mathbb{Z} / n\mathbb{Z}