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k-cycle.md

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+alias: "cycle"
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+up::[[permutation]]
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] [[k-cycle]]
+> Soit $k \geq 2$
+> On dit qu'une [[permutation]] $\sigma \in \mathfrak{S}_{n}$ est un **cycle de longueur $k$**, ou un $k$-cycle, s'il existe $k$ éléments **distincts** $a_1,\dots, a_{k} \in \{ 1,\dots, n \}$ tels que :
+> - $\sigma(a_i) = a_{i+1}$ pour $i \in \{ 1,\dots, k-1 \}$
+> - $\sigma(k) = a_1$
+> - $\sigma(a) = a$ dès que $a \notin \{ a_1 ,\dots, a_{k} \}$
+> 
+> > [!info] Notation
+> > On note $\sigma = (a_1, a_2,\dots, a_{k})$
+> > - ! pour un cycle donné, l'écriture ci-avant n'est pas unique : $(a_1,\dots, a_{k}) = (a_2,\dots,a_{k},a_1) = (a_{k}, a_1,\dots, a_{k-1}) = \dots$
+^definition
+ 
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ orbite
+> Un $k$-cycle est une [[permutation]] ayant une unique [[orbites du groupe symétrique|orbite]] non triviale ; les éléments de l'orbite correspondent au [[support d'une permutation|support]] du $k$-cycle (les $a_1,\dots, a_k$)
+> 
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+> [!proposition]+ inverse
+> $(a_1,\dots,a_{k})^{-1} = (a_1, a_{k}, a_{k-1},\dots, a_2)$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Si $\sigma = (a_1,\dots, a_{n})$
+> > alors $\sigma(a_{i}) = a_{i+1}$ et $\sigma(a_{k}) = a_1$
+> > Donc $\sigma ^{-1}(a_{i}) = a_{i-1}$ et $\sigma ^{-1}(a_{1}) = a_{k}$
+> >