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cycle

up::permutation #maths/algèbre

[!definition] k-cycle Soit k \geq 2 On dit qu'une permutation \sigma \in \mathfrak{S}_{n} est un cycle de longueur $k$, ou un $k$-cycle, s'il existe k éléments distincts a_1,\dots, a_{k} \in \{ 1,\dots, n \} tels que :

• \sigma(a_i) = a_{i+1} pour i \in \{ 1,\dots, k-1 \}
• \sigma(k) = a_1
• \sigma(a) = a dès que a \notin \{ a_1 ,\dots, a_{k} \}

[!info] Notation On note \sigma = (a_1, a_2,\dots, a_{k})

• ! pour un cycle donné, l'écriture ci-avant n'est pas unique : (a_1,\dots, a_{k}) = (a_2,\dots,a_{k},a_1) = (a_{k}, a_1,\dots, a_{k-1}) = \dots ^definition

Propriétés

[!proposition]+ orbite Un $k$-cycle est une permutation ayant une unique orbites du groupe symétrique non triviale ; les éléments de l'orbite correspondent au support d'une permutation du $k$-cycle (les a_1,\dots, a_k)

[!proposition]+ inverse (a_1,\dots,a_{k})^{-1} = (a_1, a_{k}, a_{k-1},\dots, a_2)

[!démonstration]- Démonstration Si \sigma = (a_1,\dots, a_{n}) alors \sigma(a_{i}) = a_{i+1} et \sigma(a_{k}) = a_1 Donc \sigma ^{-1}(a_{i}) = a_{i-1} et \sigma ^{-1}(a_{1}) = a_{k}