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groupe des automorphismes d'un groupe.md

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+up:: [[automorphisme de groupes]], [[Ensemble des bijections]]
+#maths/algèbre 
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+> [!definition] Définition
+> Soit $G$ un [[groupe]]
+> On note $\mathrm{Aut}(G)$ l'ensemble des [[automorphisme|automorphismes]] de $G$
+^definition
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+> [!definition] Définition formelle
+> $\mathrm{Aut}(G) := \{ f \in \mathrm{End}(G) \mid f \text{ est un isomorphisme} \}$
+> où $\mathrm{End}(G)$ est l'ensemble des [[endomorphisme d'espaces vectoriels|endomorphismes]] de $G$.
+> Voir [[isomorphisme de groupes]]
+^definition-formelle
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+# Propriétés
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+> [!proposition]+ Sous groupe de $\mathrm{Bij}(G)$
+> L'ensemble $\mathrm{Aut}(G)$ est un [[sous groupe]] de $\mathrm{Bij}(G)$, le [[Ensemble des bijections#^groupe-bijections|groupe des bijections]] de $G \to G$
+> $$\boxed{\mathrm{Aut}(G) < \mathrm{Bij}(G)}$$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > - On a bien $\mathrm{Aut}(G) \subset \mathrm{Bij}(G)$ puisque tous les automorphismes sont bijectifs
+> > - On a $\mathrm{id} \in \mathrm{Aut}(G)$, puisque $\mathrm{id} \in \mathrm{Bij}(G)$ et $\mathrm{id} \in \mathrm{End}(G)$
+> > - Si $f \in \mathrm{Aut}(G)$ alors $f$ est un isomorphisme, et donc $f^{-1}$ est aussi un isomorphisme (voir [[isomorphisme de groupes#^isomorphisme-reciproque|isomorphisme réciproque]]). On a bien $f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{\mathrm{Aut}(G)}$, donc $f^{-1}$ est bien l'inverse de $f$, et $\mathrm{Aut}(G)$ est stable par inverse.
+> > de là suit que $\mathrm{Aut}(G) < \mathrm{Bij}(G)$
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+# Exemples
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