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up:: automorphisme de groupes, Ensemble des bijections #maths/algèbre
[!definition] Définition Soit
Gun groupe On note\mathrm{Aut}(G)l'ensemble des automorphisme deG^definition
[!definition] Définition formelle
\mathrm{Aut}(G) := \{ f \in \mathrm{End}(G) \mid f \text{ est un isomorphisme} \}où\mathrm{End}(G)est l'ensemble des endomorphisme d'espaces vectoriels deG. Voir isomorphisme de groupes ^definition-formelle
Propriétés
[!proposition]+ Sous groupe de
\mathrm{Bij}(G)L'ensemble\mathrm{Aut}(G)est un sous groupe de\mathrm{Bij}(G), le Ensemble des bijections#^groupe-bijections deG \to G\boxed{\mathrm{Aut}(G) < \mathrm{Bij}(G)}[!démonstration]- Démonstration
- On a bien
\mathrm{Aut}(G) \subset \mathrm{Bij}(G)puisque tous les automorphismes sont bijectifs- On a
\mathrm{id} \in \mathrm{Aut}(G), puisque\mathrm{id} \in \mathrm{Bij}(G)et\mathrm{id} \in \mathrm{End}(G)- Si
f \in \mathrm{Aut}(G)alorsfest un isomorphisme, et doncf^{-1}est aussi un isomorphisme (voir isomorphisme de groupes#^isomorphisme-reciproque). On a bienf \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_{\mathrm{Aut}(G)}, doncf^{-1}est bien l'inverse def, et\mathrm{Aut}(G)est stable par inverse. de là suit que\mathrm{Aut}(G) < \mathrm{Bij}(G)