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cours L3.intégration.md

@@ -32,7 +32,7 @@ up:: [[cours L3]]
 
 > [!proposition]- image réciproque
 > 
-> [[fonction réciproque|réciproque]]
+> [[application réciproque|réciproque]]
 > Soit $f : E \to F$
 > Soit $B \subset F$ l'image réciproque de $A$ par $F$, notée $B = f^{-1}(A)$
 
@@ -43,17 +43,6 @@ up:: [[cours L3]]
 > $f(A_1) = [0; 1] \quad f(A_2) = [0; 1]$
 > $f^{-1}(A_1) = [-1; 1] \quad f^{-1}(A_2) = [0; 1] \quad f^{-1}(B)=]-2; 2[$
 
-> [!proposition]- Propriétés : morphismes sur $\cap$ et $\cup$
-> Soit $f : E \to F$
-> Soient $(A, A') \in E^{2}$ et $(B, B') \in F^{2}$
-> On a :
-> - $f^{-1}(B \cup B') = f^{-1}(B) \cup f^{-1}(B')$
-> - $f^{-1}(B \cap B') = f^{-1}(B) \cap f^{-1}(B')$
-> - $f(A \cup A') = f(A) \cup f(A')$
-> - $f(A \cap A') \subset f(A) \cap f(A')$
-> 
-> Fonctionne aussi sur les familles d'ensembles :
-> - $\displaystyle f^{-1}\left( \bigcup_{l \in L}B_{l} \right) = \bigcup _{l \in L} \left( f ^{-1}(B_{l}) \right)$
 
 ## 1.3 - Définition et premières propriétés
 
@@ -88,6 +77,49 @@ start-note: "mesure positive d'une application.md"
 - [[mesure de Lebesgue]]
 
 
-# 3 - exemples importants de trivus et de mesures
+## 2.4 - exemples importants de tribus et de mesures
 
-- [[tribu trace]]
+- [[tribu trace]]
+
+# 3 - fonctions mesurables
+
+- [[fonction mesurable]]
+     - [[intégrale de lebesgue]]
+     - [[fonction intégrable]]
+     - [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]
+
+# 4 - Exemples de mesures discrètes
+
+Soit $(E, \mathcal{A})$ un espace mesurable
+Soit $K \subset \mathbb{N}^{*}$
+Soient $(a_{k}) \in E^{K}$ et $(\alpha _{k}) \in E^{K}$ deux familles d'éléments de $E$
+$\mu = \sum\limits_{k\in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}$ est une mesure
+(on rappelle que $\delta$ est la [[mesure de Dirac]])
+Soit $f : (E, \mathcal{A}) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(R))$
+Si $f$ est [[fonction mesurable|mesurable]] à valeurs dans $\overline{\mathbb{R}}^{+}$, on a :
+$\boxed{\displaystyle \int_{E} f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}f(a_{k})}\qquad (*)$ 
+
+> [!démonstration]- Démonstration
+> 1. si $f = \mathbb{1}_{A}$ avec $A \in \mathcal{A}$
+> $\displaystyle\int_{E} f \, d\mu = \mu(A)$ par définition de l'[[intégrale de lebesgue]]
+> et donc :
+> $\displaystyle \int f \, d\mu = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\delta _{a_{k}}(A) = \sum\limits_{k \in K} \alpha _{k}\mathbb{1}_{A}(a_{k})$
+> 2. par linéarité, $(*)$ est vraie pour toutes les fonctions étagées positives (qui sont des combinaisons linéaires de [[fonction indicatrice|fonctions indicatrices]])
+> 3. par passage à la limite d'une suite de fonctions étagées (grâce au [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]), on peut généraliser sur toute fonctions mesurable positive
+
+# 5 - Théorèmes limites et applications
+
+## Lemme de Fatou
+
+- [[lemme de Fatou]]
+
+## Ensembles et fonctions négligeable
+- [[inégalité de Markov]]
+
+
+- [[propriété vraie presque partout]]
+    - [[fonction finie presque partout|fonction finie presque partout]]
+    - [[fonction négligeable|fonction négligeable]]
+    - [[fonctions égales presque partout|fonctions égales presque partout]]
+    - [[suite de fonctions convergente presque partout|suite de fonctions convergente presque partout]]
+- [[théorème de convergence dominée]]