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comparaisons entre intégrales.md

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+up:: [[intégrale de lebesgue]]
+#maths/intégration 
+
+> [!proposition]+  positivité
+> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
+> Soit $f$ une fonction de $(E, \mathcal{A}, \mu) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$.
+> Si $f \geq 0$, alors $\int_{E} f \, d\mu \geq 0$
+
+> [!lemme]- Comparaison de fonctions étagées positives
+> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
+> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction étagée positive|fonctions étagées positives]] telles que $0 \leq f \leq g$
+> $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Il suffit de remarque que $g - f$ est aussi une [[fonction étagée positive]], et donc, d'après la [[intégrale de lebesgue#^linearite|linéarité]] :
+> > $\displaystyle\int _{E} g \, d\mu = \int _{E} f+ (g-f) \, d\mu =  \int _{E} f \, d\mu + \underbrace{\int _{E} g - f \, d\mu}_{\in \mathbb{R}^{+}}$
+> > 
+
+> [!proposition]+ Comparaison de fonctions mesurables
+> Sur l'[[espace mesuré]] $(E, \mathcal{A}, \mu)$
+> Si $f$ et $g$ sont deux [[fonction mesurable|fonctions mesurables]] telles que $0 \leq f \leq g$
+> $\displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On utilise le lemme précédent sur $(f_{n})$ et $(g_{n})$ des suites de fonctions étagées positives telles que $f_{n} \xrightarrow{n \to \infty} f$ et $g_{n} \xrightarrow{n \to \infty} g$.
+> > Ensuite, par passage à la limite (par le [[théorème de convergence monotone des intégrales|théorème de convergence monotone]]), on a bien démontré la propriété
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