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up:: intégrale de lebesgue #maths/intégration

[!proposition]+ positivité Sur l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Soit f une fonction de (E, \mathcal{A}, \mu) \to (\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})). Si f \geq 0, alors \int_{E} f \, d\mu \geq 0

[!lemme]- Comparaison de fonctions étagées positives Sur l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Si f et g sont deux fonction étagée positive telles que 0 \leq f \leq g \displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu

[!démonstration]- Démonstration Il suffit de remarque que g - f est aussi une fonction étagée positive, et donc, d'après la intégrale de lebesgue#^linearite : \displaystyle\int _{E} g \, d\mu = \int _{E} f+ (g-f) \, d\mu = \int _{E} f \, d\mu + \underbrace{\int _{E} g - f \, d\mu}_{\in \mathbb{R}^{+}}

[!proposition]+ Comparaison de fonctions mesurables Sur l'espace mesuré (E, \mathcal{A}, \mu) Si f et g sont deux fonction mesurable telles que 0 \leq f \leq g \displaystyle \int _{E} f \, d\mu \leq \int _{E} g \, d\mu

[!démonstration]- Démonstration On utilise le lemme précédent sur (f_{n}) et (g_{n}) des suites de fonctions étagées positives telles que f_{n} \xrightarrow{n \to \infty} f et g_{n} \xrightarrow{n \to \infty} g. Ensuite, par passage à la limite (par le théorème de convergence monotone des intégrales), on a bien démontré la propriété