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fonction récursive primitive.md

@@ -146,6 +146,22 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 > Le prédiat $x>y$ est récursif primitif.
 >  - dem ce prédicat est équivalent à $\operatorname{sg}(x \dot{-}y)$
 
+> [!proposition]+ Somme et produits limités
+> Soit $f \in \mathscr{F}_{p+1}$ une fonction récursive primitive
+> Alors les fonctions :
+>  - $g = \lambda x_1 x_2 \dots x_{p} y. \sum\limits_{t=0}^{y} f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, t)$
+>  - $h = \lambda x_1 x_2 \dots x_{p}y. \prod\limits_{t=0}^{y} f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, t)$
+> 
+> sont récursives primitives
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > Ces fonctions se définissent facilement par un schéma de récurrence.
+> > Pour la somme, par exemple :
+> >  - $g(x_1, x_2, \dots, x_{p}, 0) = f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, 0)$
+> >  - $g(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y+1) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y) + f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y+1)$
+> 
+> > [!corollaire] factorielle
+> > La factorielle peut être définie comme un produit limité, et est donc récursive primitive
+
 ## Propriétés de clôture
 
 > [!proposition]+ clôture par substitution de variables
@@ -183,7 +199,16 @@ On peut trouver de nouveaux schémas de définitions de fonctions qui sont stabl
 > > > On remarque que :
 > > > $g = f_1 \cdot \chi(A_1) + f_2 \cdot \chi(A_2 \setminus A_1) + f_3 \cdot \chi(A_3 \setminus (A_1 \cup A_2)) + \cdots + f_{n}\cdot \chi(A_{n} \setminus (A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{n-1})) + f_{n+1} \cdot \chi(\mathbb{N}^{p} \setminus (A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{n}))$
 > 
-> > [!corollaire] 
-> > on voit que les fonctions
+> > [!corollaire] Corollaire : $\sup$ et $\inf$ sont récursives primitives
+> > on voit que les fonctions $\lambda x_1 x_2 \dots x_{p}. \sup\limits(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ et $\lambda x_1 x_2 \dots x_{p}. \inf(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ sont récursives primitives.
+> >  - $\sup\limits$ peut être définie comme suit :
+> >      - $\sup(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = x_1$ si $x_1 \geq x_2$ et $x_2 \geq x_3$ et ... et $x_1 \geq x_{p}$
+> >      - $\sup(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = x_2$ sinon et si $x_2 \geq x_3$ et ... et $x_2 \geq x_{p}$
+> >      - $\vdots$
+> >      - $\sup(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = x_{p-1}$ sinon et si $x_{p-1} \geq x_{p}$
+> >      - $\sup(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = x_{p}$ sinon
+^schema-par-cas
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 # Exemples