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20
fonction récursive primitive.md
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@@ -166,6 +166,24 @@ On peut trouver de nouveaux schémas de définitions de fonctions qui sont stabl
> est récursive primitive
> > [!démonstration]- Démonstration
> > Il suffit de remarquer que $h = f \cdot \chi(A) + g\cdot \chi(\mathbb{N}^{p} \dot{-} A)$
> >
>
> > [!info]- Généralisation à plus de 2 cas
> > On peut généraliser ce schéma :
> > Soient $f_1, f_2, \dots, f_{n+1} \in \mathscr{F}_{p}$ des fonctions récursives primitives
> > Soient $A_1, A_2, \dots, A_{n} \subseteq \mathbb{N}^{p}$ des ensembles récursifs primitifs
> > Alors la fonction $g$ définie par :
> > - $g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ si $(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \in A_1$
> > - $g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ si $(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \neq A_1$ et $(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \in A_2$
> > - $g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = f_3(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ si $(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \notin A_1 \cup A_2$ et $(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \in A_3$
> > - $\vdots$
> > - $g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ si $(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \notin A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{n-1}$ et $(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \in A_{n}$
> > - $g(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = f_{n+1}(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ si $(x_1, x_2, \dots, x_{p}) \notin A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{n}$
> > est une fonction récursive primitive.
> > > [!démonstration]- Démonstration
> > > On remarque que :
> > > $g = f_1 \cdot \chi(A_1) + f_2 \cdot \chi(A_2 \setminus A_1) + f_3 \cdot \chi(A_3 \setminus (A_1 \cup A_2)) + \cdots + f_{n}\cdot \chi(A_{n} \setminus (A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{n-1})) + f_{n+1} \cdot \chi(\mathbb{N}^{p} \setminus (A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_{n}))$
>
> > [!corollaire]
> > on voit que les fonctions
# Exemples