eduroam-prg-og-1-31-227.net.univ-paris-diderot.fr 2026-2-5:15:9:32

fonction récursive primitive.md

@@ -49,12 +49,17 @@ aliases:
 
 > [!info] Définition par le bas
 > On peut également produire une définition "par le bas", en construisant d'abord l'ensemble $R_0$ contenant les fonctions constantes, projections et successeur, puis en posant pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
+> $R_0 = \{ \gamma \mid p \in \mathbb{N} \text{ et } \gamma \text{ est une fonction constante de } \mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N} \} \cup \{ P_{p}^{i} \mid 1 \leq i \leq p \} \cup \{ S \}$
 > $\begin{align} R_{n+1} = R_{n} &\cup \{ h \mid h \text{ est obtenue par récurrence à partir de deux fonctions de } R_{n} \}\\ &\cup \{ h \mid h \text{ est obtenue par composition de deux fonctions de } R_{n} \} \end{align}$
 
 > [!info] Montrer une propriété des fonctions récursives primitives
->  - on peut montrer que cette propriété $\mathscr{P}$ est vraie sur les fonctions constantes, projections et successeur, puis montrer que $\mathscr{P}$ est stable
->  - 
+>  - on peut montrer que cette propriété $\mathscr{P}$ est vraie sur les fonctions constantes, projections et successeur, puis montrer que $\mathscr{P}$ est stable par composition et récursion
+>  - on peut montrer que $\mathscr{P}$ est vraie sur $R_0$ puis que si $\mathscr{P}$ est vraie partout sur $R_{n}$ pour un $n \in \mathbb{N}$, alors elle est aussi vraie partout sur $R_{n+1}$
 
 # Propriétés
 
+> [!proposition]+ les fonctions récursives primitives possèdent des algorithmes les calculant
+> 
+> 
+
 # Exemples