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MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-3-22:14:9:54

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fonction d'ackermann de cori et lascar.md
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@@ -16,7 +16,8 @@ aliases:
> - $\forall x, y \in \mathbb{N},\quad \xi(y+1, x+1) = \xi(y, \xi(y+1, x))$ > - $\forall x, y \in \mathbb{N},\quad \xi(y+1, x+1) = \xi(y, \xi(y+1, x))$
> >
> On pourra aussi noter : > On pourra aussi noter :
> $\xi _{n}(x) = \xi(n, x)$ > $\xi _{n}(x) = \xi(n, x)$ (définie comme $\xi _{n} := \lambda x. \xi(n, x)$)
> La relation de récurrence est alors : $\xi _{n+1}(x+1) = \xi _{n}(\xi _{n+1}(x))$
^definition ^definition
# Propriétés # Propriétés
@@ -95,7 +96,16 @@ aliases:
> - $\xi _{n}^{k}(x) \geq x$ > - $\xi _{n}^{k}(x) \geq x$
> - dem $\xi _{n}^{0}(x) = x \geq x$, or on vu plus haut que $\xi _{n}^{k+1}(x) > \xi _{n}^{k}(x)$ > - dem $\xi _{n}^{0}(x) = x \geq x$, or on vu plus haut que $\xi _{n}^{k+1}(x) > \xi _{n}^{k}(x)$
> - $\xi _{n}^{k} \circ \xi _{n}^{h} = \xi _{n}^{k+h}$ > - $\xi _{n}^{k} \circ \xi _{n}^{h} = \xi _{n}^{k+h}$
> - dem cela est assez évident par définition
> - si $m \leq n$ alors $\xi _{m}^{k}(x) \leq \xi _{n}^{k}(x)$ > - si $m \leq n$ alors $\xi _{m}^{k}(x) \leq \xi _{n}^{k}(x)$
> > [!démonstration]- Démonstration
> > On procède par récurrence sur $k$ :
> > - **Initialisation :** $\xi _{m}^{0} = \xi _{n}^{0} = \lambda x. x$ donc l'inégalité est triviallement vraie
> > - **Récurrence :**
> > On suppose $\xi _{m}^{k}(x) \leq \xi _{n}^{k}(x)$ et on veut montrer que $\xi _{m}^{k+1}(x) \leq \xi _{n}^{k+1}(x)$.
> > On a alors
> >
>
# Exemples # Exemples