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fonction d'ackermann de cori et lascar.md

@@ -54,7 +54,7 @@ aliases:
 ^lemme 1
 ^lemme-1
 
-> [!corollaire] Lemme 2 : $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
+> [!corollaire] Lemme 2 – $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
 > Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > On procède par récurrence sur $n$ :
@@ -62,21 +62,41 @@ aliases:
 > >    $\xi_0(x+1) = 2^{x+1} > 2^{x} = \xi _{0}(x+1)$
 > >  - **Récurrence** pour un $n$ fixé on suppose $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
 > >    On veut alors montrer que $\xi _{n+1}(x+1) > \xi _{n+1}(x)$
-> >    $\xi _{n+1}(x+1) = \underbrace{\xi _{n}(\xi _{n+1}(x)) > \xi _{n+1}(x)}_{\text{par le lemme 1}}$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|lemme 1]])
+> >    $\xi _{n+1}(x+1) = \underbrace{\xi _{n}(\xi _{n+1}(x)) > \xi _{n+1}(x)}_{\text{par le lemme 1}}$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|Lemme 1]])
 ^lemme-2
 
-> [!corollaire] Lemme 3 $\xi _{n}(x) \geq \xi _{n-1}(x)$
-> Pour tout $n \geq 1$ et pour tout $x$ on a $\xi _{n}(x) \geq \xi _{n-1}(x)$
+> [!corollaire] Lemme 3 – $\xi_{n}(x) \geq \xi_{n-1}(x)$
+> Pour tout $n \geq 1$ et pour tout $x$ on a $\xi_{n}(x) \geq \xi_{n-1}(x)$
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > On procède par récurrence sur $x$ :
 > >  - **Initialisation :** pour $x=0$
-> >    On a $\xi _{n}(0) = 1 \geq 1 = \xi _{n-1}(0)$
-> >  - **Récurrence :** pour un $x$ fixé, on suppose $\xi _{n}(x)\geq \xi _{n-1}(x)$
-> >    On veut alors montrer que $\xi _{n}(x+1)\geq \xi _{n-1}(x+1)$
-> >    On sait que $\xi _{n}(x) \geq x+1$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|lemme 1]])
-> >    Et comme $\xi _{n}$
+> >    On a $\xi_{n}(0) = 1 \geq 1 = \xi_{n-1}(0)$
+> >  - **Récurrence :** pour un $x$ fixé, on suppose $\xi_{n}(x)\geq \xi_{n-1}(x)$
+> >    On veut alors montrer que $\xi_{n}(x+1)\geq \xi_{n-1}(x+1)$
+> >    On sait que $\xi_{n}(x) \geq x+1$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|Lemme 1]])
+> >    Et comme $\xi_{n-1}$ est croissante ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-2|Lemme 2]]) on a $\xi_{n-1}(\xi_{n}(x)) \geq \xi_{n-1}(x+1)$
+> >    Or $\xi_{n}(x+1) = \xi_{n-1}(\xi_{n}(x))$ (par la définition par récurrence de $\xi_{n}$)
+> >    Donc $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n-1}(x+1)$
 ^lemme-3
 
+> [!definition] Fonctions $\xi _{n}^{k}$ (itération de $\xi _{n}$)
+> Si $k$ est un entiers, notons $\xi _{n}^{k}$ la fonction $\xi _{n}$ itérée $k$ fois :
+>  - $\xi _{n}^{0} = \lambda x.x$
+>  - $\xi _{n}^{1} = \xi _{n}$
+>  - $\vdots$
+>  - $\xi _{n}^{k+1} = \xi _{n} \circ \xi _{n}^{k}$
+
+> [!corollaire] Lemme 4 – propriétés trivialles
+>  - Les fonctions $\xi _{n}^{k}$ sont strictement croissantes
+>      - dem évident puisque $\lambda x.x$ et les $\xi _{n}$ sont croissantes ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-2|Lemme 2]])
+> Pour tous $m, n, k, h, x \in \mathbb{N}$ on a :
+>  - $\xi _{n}^{k}(x) < \xi _{n}^{k+1}(x)$
+>      - dem par changement de variable $X = \xi _{n}^{k}(x)$ on obtient $X < \xi _{n}(X)$ ce qui est vrai ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-2|Lemme 2]])
+>  - $\xi _{n}^{k}(x) \geq x$
+>      - dem $\xi _{n}^{0}(x) = x \geq x$, or on vu plus haut que $\xi _{n}^{k+1}(x) > \xi _{n}^{k}(x)$ 
+>  - $\xi _{n}^{k} \circ \xi _{n}^{h} = \xi _{n}^{k+h}$
+>  - si $m \leq n$ alors $\xi _{m}^{k}(x) \leq \xi _{n}^{k}(x)$
+
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