eduroam-prg-og-1-28-168.net.univ-paris-diderot.fr 2026-1-19:10:4:48

partie fermée d'un espace métrique.md

@@ -59,7 +59,7 @@ tags: "#s/maths/algèbre"
 >     - ! Une union infinie de fermés peut être ouverte. Par exemple : $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left[0; 1- \frac{1}{n}\right] = [0; 1[$
 >
 > > [!démonstration]- Démonstration
-> > La démonstration de fait à partir des [[partie ouverte d'un espace métrique#^union-intersection-ouverts|propriétés analogues sur les ouverts]], ainsi que les [[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|complémentaires d'ouverts]]
+> > La démonstration de fait à partir des propriétés analogues sur les ouverts ([[partie ouverte d'un espace métrique#^union-ouverts|union]], [[partie ouverte d'un espace métrique#^intersection-ouverts|intersection]]), ainsi que des [[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|complémentaires d'ouverts]]
 
 
 > [!proposition]+ Fermé d'une partie

partie ouverte d'un espace métrique.md

@@ -27,18 +27,18 @@ tags: "#s/maths/algèbre"
 > L'ensemble vide est un ouvert de tout espace métrique
 > 
 > > [!démonstration]- Démonstration
-> > 
+> > $\emptyset$ est voisinage de chacun de ses points car il n'en a aucun :
+> > $\forall x \in \emptyset ,\quad B(x, 1) \subset X$
 
 > [!proposition] complémentaires de fermés et d'ouverts
 > Soit $A \subset X$ une partie de $X$
 > $A \text{ est fermée} \iff X \setminus A \text{ est ouverte}$
 > ([[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|démonstration]])
 
-> [!proposition] Union et intersection d'ouverts
+> [!proposition] Union d'ouverts
 > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
 > Soit $\mathcal{O}$ l'ensemble des parties ouvertes de $X$
-> On a :
-> - $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O}, \quad \bigcup _{O \in \Omega} O \quad\text{est ouverte}$
+> $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O}, \quad \bigcup _{O \in \Omega} O \quad\text{est ouverte}$
 >
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > Si $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille d'ouverts
@@ -47,21 +47,27 @@ tags: "#s/maths/algèbre"
 > > Comme $O$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset O$
 > > Or, $O \subset U$ donc $B(x, r) \subset U$
 > > et donc, $U$ est ouverte
-> - $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O} \text{ finie}, \quad \bigcap _{O \in \Omega}O \quad\text{est ouverte}$
->     - ! Une intersection infinie d'ouverts peut être fermée. Par exemple : $\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left] -\frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right[ = \{  0 \}$
+^union-ouverts
+
+> [!proposition] Intersection finie d'ouverts
+> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
+> Soit $\mathcal{O}$ l'ensemble des parties ouvertes de $X$
+> On a :
+> $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O} \text{ finie}, \quad \bigcap _{O \in \Omega}O \quad\text{est ouverte}$
+>  - ! Une intersection infinie d'ouverts peut être fermée. Par exemple : $\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left] -\frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right[ = \{  0 \}$
 >
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > Soit $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille finie d'ouverts.
 > > Soit $\displaystyle V = \bigcap _{O \in \Omega} O$
 > > Si $x \in V$, alors $\forall O \in \Omega ,\quad x \in O$
 > > Donc, pour chaque $O \in \Omega$, il existe $r_O > 0$ tel que $B(x, r_O) \subset O$
-> > Si $\displaystyle r = \min_{O \in \Omega} r_0 >0$
+> > Si $\displaystyle r = \min_{O \in \Omega} r_O >0$
 > > On a donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset B(x, r_O)$
 > > donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset O$
 > > et donc $\displaystyle B(x, r) \subset \bigcap _{O \in \Omega} O$
 > > On a trouvé $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset V$
 > > Donc $V$ est ouverte
-^union-intersection-ouverts
+^intersection-ouverts
 
 > [!proposition]+ Ouvert d'une partie
 > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]