From 9f686c193b25d892b02d2ef0001f769f22b5d8f6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: oskar Date: Mon, 19 Jan 2026 10:04:48 +0100 Subject: [PATCH] eduroam-prg-og-1-28-168.net.univ-paris-diderot.fr 2026-1-19:10:4:48 --- partie fermée d'un espace métrique.md | 2 +- partie ouverte d'un espace métrique.md | 22 ++++++++++++++-------- 2 files changed, 15 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/partie fermée d'un espace métrique.md b/partie fermée d'un espace métrique.md index 7100f242..0fbf8283 100644 --- a/partie fermée d'un espace métrique.md +++ b/partie fermée d'un espace métrique.md @@ -59,7 +59,7 @@ tags: "#s/maths/algèbre" > - ! Une union infinie de fermés peut être ouverte. Par exemple : $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left[0; 1- \frac{1}{n}\right] = [0; 1[$ > > > [!démonstration]- Démonstration -> > La démonstration de fait à partir des [[partie ouverte d'un espace métrique#^union-intersection-ouverts|propriétés analogues sur les ouverts]], ainsi que les [[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|complémentaires d'ouverts]] +> > La démonstration de fait à partir des propriétés analogues sur les ouverts ([[partie ouverte d'un espace métrique#^union-ouverts|union]], [[partie ouverte d'un espace métrique#^intersection-ouverts|intersection]]), ainsi que des [[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|complémentaires d'ouverts]] > [!proposition]+ Fermé d'une partie diff --git a/partie ouverte d'un espace métrique.md b/partie ouverte d'un espace métrique.md index 30dde005..12f1384f 100644 --- a/partie ouverte d'un espace métrique.md +++ b/partie ouverte d'un espace métrique.md @@ -27,18 +27,18 @@ tags: "#s/maths/algèbre" > L'ensemble vide est un ouvert de tout espace métrique > > > [!démonstration]- Démonstration -> > +> > $\emptyset$ est voisinage de chacun de ses points car il n'en a aucun : +> > $\forall x \in \emptyset ,\quad B(x, 1) \subset X$ > [!proposition] complémentaires de fermés et d'ouverts > Soit $A \subset X$ une partie de $X$ > $A \text{ est fermée} \iff X \setminus A \text{ est ouverte}$ > ([[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|démonstration]]) -> [!proposition] Union et intersection d'ouverts +> [!proposition] Union d'ouverts > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] > Soit $\mathcal{O}$ l'ensemble des parties ouvertes de $X$ -> On a : -> - $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O}, \quad \bigcup _{O \in \Omega} O \quad\text{est ouverte}$ +> $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O}, \quad \bigcup _{O \in \Omega} O \quad\text{est ouverte}$ > > > [!démonstration]- Démonstration > > Si $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille d'ouverts @@ -47,21 +47,27 @@ tags: "#s/maths/algèbre" > > Comme $O$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset O$ > > Or, $O \subset U$ donc $B(x, r) \subset U$ > > et donc, $U$ est ouverte -> - $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O} \text{ finie}, \quad \bigcap _{O \in \Omega}O \quad\text{est ouverte}$ -> - ! Une intersection infinie d'ouverts peut être fermée. Par exemple : $\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left] -\frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right[ = \{ 0 \}$ +^union-ouverts + +> [!proposition] Intersection finie d'ouverts +> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] +> Soit $\mathcal{O}$ l'ensemble des parties ouvertes de $X$ +> On a : +> $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O} \text{ finie}, \quad \bigcap _{O \in \Omega}O \quad\text{est ouverte}$ +> - ! Une intersection infinie d'ouverts peut être fermée. Par exemple : $\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left] -\frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right[ = \{ 0 \}$ > > > [!démonstration]- Démonstration > > Soit $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille finie d'ouverts. > > Soit $\displaystyle V = \bigcap _{O \in \Omega} O$ > > Si $x \in V$, alors $\forall O \in \Omega ,\quad x \in O$ > > Donc, pour chaque $O \in \Omega$, il existe $r_O > 0$ tel que $B(x, r_O) \subset O$ -> > Si $\displaystyle r = \min_{O \in \Omega} r_0 >0$ +> > Si $\displaystyle r = \min_{O \in \Omega} r_O >0$ > > On a donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset B(x, r_O)$ > > donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset O$ > > et donc $\displaystyle B(x, r) \subset \bigcap _{O \in \Omega} O$ > > On a trouvé $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset V$ > > Donc $V$ est ouverte -^union-intersection-ouverts +^intersection-ouverts > [!proposition]+ Ouvert d'une partie > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]