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eduroam-prg-og-1-28-168.net.univ-paris-diderot.fr 2026-1-19:10:4:48

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oskar
2026-01-19 10:04:48 +01:00
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partie fermée d'un espace métrique.md
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@@ -59,7 +59,7 @@ tags: "#s/maths/algèbre"
> - ! Une union infinie de fermés peut être ouverte. Par exemple : $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left[0; 1- \frac{1}{n}\right] = [0; 1[$ > - ! Une union infinie de fermés peut être ouverte. Par exemple : $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left[0; 1- \frac{1}{n}\right] = [0; 1[$
> >
> > [!démonstration]- Démonstration > > [!démonstration]- Démonstration
> > La démonstration de fait à partir des [[partie ouverte d'un espace métrique#^union-intersection-ouverts|propriétés analogues sur les ouverts]], ainsi que les [[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|complémentaires d'ouverts]] > > La démonstration de fait à partir des propriétés analogues sur les ouverts ([[partie ouverte d'un espace métrique#^union-ouverts|union]], [[partie ouverte d'un espace métrique#^intersection-ouverts|intersection]]), ainsi que des [[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|complémentaires d'ouverts]]
> [!proposition]+ Fermé d'une partie > [!proposition]+ Fermé d'une partie

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partie ouverte d'un espace métrique.md
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@@ -27,18 +27,18 @@ tags: "#s/maths/algèbre"
> L'ensemble vide est un ouvert de tout espace métrique > L'ensemble vide est un ouvert de tout espace métrique
> >
> > [!démonstration]- Démonstration > > [!démonstration]- Démonstration
> > > > $\emptyset$ est voisinage de chacun de ses points car il n'en a aucun :
> > $\forall x \in \emptyset ,\quad B(x, 1) \subset X$
> [!proposition] complémentaires de fermés et d'ouverts > [!proposition] complémentaires de fermés et d'ouverts
> Soit $A \subset X$ une partie de $X$ > Soit $A \subset X$ une partie de $X$
> $A \text{ est fermée} \iff X \setminus A \text{ est ouverte}$ > $A \text{ est fermée} \iff X \setminus A \text{ est ouverte}$
> ([[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|démonstration]]) > ([[partie fermée d'un espace métrique#^complementaires-fermes-ouverts|démonstration]])
> [!proposition] Union et intersection d'ouverts > [!proposition] Union d'ouverts
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $\mathcal{O}$ l'ensemble des parties ouvertes de $X$ > Soit $\mathcal{O}$ l'ensemble des parties ouvertes de $X$
> On a : > $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O}, \quad \bigcup _{O \in \Omega} O \quad\text{est ouverte}$
> - $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O}, \quad \bigcup _{O \in \Omega} O \quad\text{est ouverte}$
> >
> > [!démonstration]- Démonstration > > [!démonstration]- Démonstration
> > Si $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille d'ouverts > > Si $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille d'ouverts
@@ -47,21 +47,27 @@ tags: "#s/maths/algèbre"
> > Comme $O$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset O$ > > Comme $O$ est ouvert, il existe $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset O$
> > Or, $O \subset U$ donc $B(x, r) \subset U$ > > Or, $O \subset U$ donc $B(x, r) \subset U$
> > et donc, $U$ est ouverte > > et donc, $U$ est ouverte
> - $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O} \text{ finie}, \quad \bigcap _{O \in \Omega}O \quad\text{est ouverte}$ ^union-ouverts
> - ! Une intersection infinie d'ouverts peut être fermée. Par exemple : $\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left] -\frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right[ = \{ 0 \}$
> [!proposition] Intersection finie d'ouverts
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]
> Soit $\mathcal{O}$ l'ensemble des parties ouvertes de $X$
> On a :
> $\displaystyle\forall \Omega \subset \mathcal{O} \text{ finie}, \quad \bigcap _{O \in \Omega}O \quad\text{est ouverte}$
> - ! Une intersection infinie d'ouverts peut être fermée. Par exemple : $\bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}^{*}} \left] -\frac{1}{n}; \frac{1}{n} \right[ = \{ 0 \}$
> >
> > [!démonstration]- Démonstration > > [!démonstration]- Démonstration
> > Soit $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille finie d'ouverts. > > Soit $\Omega \subset \mathcal{O}$ une famille finie d'ouverts.
> > Soit $\displaystyle V = \bigcap _{O \in \Omega} O$ > > Soit $\displaystyle V = \bigcap _{O \in \Omega} O$
> > Si $x \in V$, alors $\forall O \in \Omega ,\quad x \in O$ > > Si $x \in V$, alors $\forall O \in \Omega ,\quad x \in O$
> > Donc, pour chaque $O \in \Omega$, il existe $r_O > 0$ tel que $B(x, r_O) \subset O$ > > Donc, pour chaque $O \in \Omega$, il existe $r_O > 0$ tel que $B(x, r_O) \subset O$
> > Si $\displaystyle r = \min_{O \in \Omega} r_0 >0$ > > Si $\displaystyle r = \min_{O \in \Omega} r_O >0$
> > On a donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset B(x, r_O)$ > > On a donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset B(x, r_O)$
> > donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset O$ > > donc $\forall O \in \Omega ,\quad B(x, r) \subset O$
> > et donc $\displaystyle B(x, r) \subset \bigcap _{O \in \Omega} O$ > > et donc $\displaystyle B(x, r) \subset \bigcap _{O \in \Omega} O$
> > On a trouvé $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset V$ > > On a trouvé $r > 0$ tel que $B(x, r) \subset V$
> > Donc $V$ est ouverte > > Donc $V$ est ouverte
^union-intersection-ouverts ^intersection-ouverts
> [!proposition]+ Ouvert d'une partie > [!proposition]+ Ouvert d'une partie
> Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]] > Soit $(X, d)$ un [[espace métrique]]