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fonction récursive primitive.md

@@ -29,6 +29,7 @@ source:
 > 
 > L'ensemble des **fonctions récursives primitives** est alors le plus petit des sous ensembles $E$ de $\mathscr{F}$ tel que :
 >  - $E$ contient toutes les fonctions constantes de $\mathscr{F}$
+>      - i On notera $C_{p}^{x}$ la fonction constante d'arité $p$ valant $x$ partout
 >  - $E$ contient toutes les projections $P_{p}^{i}$ pour tous les entiers $p$ et $i$ avec $1 \leq i \leq p$
 >  - $E$ contient la fonction successeur $S$
 >  - $E$ est clos par composition, c'est-à-dire que si $n,p \in \mathbb{N}$ , si $f_1, f_2, \dots, f_{n}$ sont des fonctions de $\mathscr{F}_{p}$ qui sont aussi dans $E$, et si $g \in \mathscr{F}_{n}$ est aussi dans $E$, alors la fonction composée $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ appartient à E
@@ -86,6 +87,8 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 
 > [!proposition]+ L'addition est récursive primitive
 > La fonction d'addition $\lambda x y. x + y$ est récursive primitive
+>  - dem $\operatorname{add} = \rho(P_1^{1}, S(P_3^{3}))$
+>
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > On peut la définir par :
 > > $\begin{cases} x+0 = x\\ x+ (y+1) = (x+y) +1 \end{cases}$
@@ -93,11 +96,34 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 > > Plus formellement, l'addition peut être définie par $\rho(P_1^{1}, S(P_{3}^{3}))$
 > > $\rho(\underbracket{P_1^{1}}_{\text{cas } x+0 = 0}, \underbracket{S(P_{3}^{3})}_{\text{cas }x+(y+1) = S(x+y)})$
 > > 
+^addition
 
 > [!proposition]+ La multiplication est récursive primitives
 > $\operatorname{mult} =\lambda xy. x \times y$ est récursive primitive
+>  - dem $\operatorname{mult} = \rho(C_1^{0}, \operatorname{add}(P_3^{3}, P_{3}^{1}))$
+>    
 > > [!démonstration]- Démonstration
-> > $\operatorname{mult} = \rho(C_{0}, \operatorname{add}())$
+> > $\operatorname{mult} = \rho(C_1^{0}, \operatorname{add}(P_3^{3}, P_{3}^{1}))$
+> > Où $C_1^{0} = \lambda x. 0$ et $\operatorname{add}$ est la fonction d'addition définie plus haut
+> > Comme on sait déjà que $\operatorname{add}$ est récursive primitive, il suit que $\operatorname{mult}$ l'est également
+^multiplication
 
+> [!proposition]+ La fonction puissance est récursive primitive
+> $\operatorname{pow} = \lambda xy. x^{y}$ est récursive primitive
+> - dem $\operatorname{pow} = \rho(C_{1}^{1}, \operatorname{mult}(P_{3}^{3}, P_3^{1}))$
+^puissance
+
+> [!proposition]+ La soustraction positive est récursive primitve
+> On note $x \dot{-} y$ la soustraction avec un plancher à 0 :
+> $x \dot{-} y = \begin{cases} x-y \text{ si } x \geq y\\ 0 \text{ sinon} \end{cases}$
+> La fonction $\lambda xy. x \dot{-} y$ est récursive primitive.
+> 
+> > [!corollaire] Lemme : le précédent positif est récursif primitif
+> > La fonction $\lambda x. x \dot{-} 1$ est récursive primitive
+> > > [!démonstration]- Démonstration
+> > > On peut définir $\lambda x. x \dot{-} 1$ comme $\rho(C_1^{0}, P_2^{1})$
+> > > Cela montre que cette fonction est bien récursive primitive
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
 
 # Exemples