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.obsidian/plugins/obsidian-pandoc-reference-list/data.json

@@ -5,7 +5,7 @@
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fonction caractéristique d'un ensemble.md

@@ -10,6 +10,8 @@ aliases:
 > $\mathbb{1}_{E} : \begin{cases} \mathbb{1}_{E}(x) = 1 \qquad \text{si } x \in E\\ \mathbb{1}_{E}(x) = 0 \qquad \text{si } x \notin E \end{cases}$
 ^definition
 
+
+
 # Propriétés
 
 # Exemples

fonction récursive primitive.md

@@ -32,7 +32,9 @@ source:
 >  - $E$ contient toutes les projections $P_{p}^{i}$ pour tous les entiers $p$ et $i$ avec $1 \leq i \leq p$
 >  - $E$ contient la fonction successeur $S$
 >  - $E$ est clos par composition, c'est-à-dire que si $n,p \in \mathbb{N}$ , si $f_1, f_2, \dots, f_{n}$ sont des fonctions de $\mathscr{F}_{p}$ qui sont aussi dans $E$, et si $g \in \mathscr{F}_{n}$ est aussi dans $E$, alors la fonction composée $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ appartient à E
+>      - i on accepte l'abus de notation $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ pour la composition
 >  - $E$ est clos par récurrence, cc'est-à-dire que si $p \in N$, si $g \in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$ sont dans $E$, alors la fonction $f \in \mathscr{F}_{p+1}$ définie par récurrence à partir de $g$ et $h$ est aussi dans $E$ : $f : \begin{cases} f(x_1,x_2, \dots, x_{p}, 0) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p})\\ f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y+1) = h(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y, f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y)) \end{cases}$
+>      - i on pourra noter $f = \rho(g, h)$
 > 
 ^definition
 
@@ -44,6 +46,7 @@ source:
 >  - $E$ contient la fonction **successeur**
 >  - $E$ est **clos par composition** : $f_1, f_2, \dots, f_{p}, g \in E \implies g(f_1, \dots, f_{p}) \in E$
 >  - $E$ est **clos par récurrence** : si $g\in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$ sont dans $E$ alors $f: \begin{cases} f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})\\ f(\overline{x}, y+1) = h(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y)) \end{cases}$ est dans $E$
+>      - i on pourra noter $f = \rho(g, h)$
 > 
 
 # Remarques
@@ -78,5 +81,23 @@ source:
 > >    
 > > Cela montre bien que la propriété de posséder un algorithme est vraie partout sur l'ensemble des fonctions récursives primitives
 
+## Fonctions élémentaires
+Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont récursives primitives.
+
+> [!proposition]+ L'addition est récursive primitive
+> La fonction d'addition $\lambda x y. x + y$ est récursive primitive
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On peut la définir par :
+> > $\begin{cases} x+0 = x\\ x+ (y+1) = (x+y) +1 \end{cases}$
+> > ---
+> > Plus formellement, l'addition peut être définie par $\rho(P_1^{1}, S(P_{3}^{3}))$
+> > $\rho(\underbracket{P_1^{1}}_{\text{cas } x+0 = 0}, \underbracket{S(P_{3}^{3})}_{\text{cas }x+(y+1) = S(x+y)})$
+> > 
+
+> [!proposition]+ La multiplication est récursive primitives
+> $\operatorname{mult} =\lambda xy. x \times y$ est récursive primitive
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > $\operatorname{mult} = \rho(C_{0}, \operatorname{add}())$
+
 
 # Exemples