MacBook-Pro-de-Oscar.local 2026-5-1:5:47:38
This commit is contained in:
oskar
Vendored
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-2
@@ -8,11 +8,11 @@
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"alwaysUpdateLinks": true,
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Vendored
+2
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@@ -40,5 +40,6 @@
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"link-tree",
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"obsidian-sequence-hotkeys",
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"notebook-navigator",
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"obsidian-pandoc"
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"obsidian-pandoc",
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"break-page"
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@@ -15,10 +15,22 @@ header-auto-numbering:
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> [!definition] [[désintégration audioactive]]
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> La règle de définition est :
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> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
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^definition
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<div style="height: 100pt"></div>
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<div style="font-size: 60pt; text-align: center">Désintégration audioactive</div>
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<div style="height: 50pt"></div>
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<div style="font-size: 25pt; text-align: center">Oscar Plaisant</div>
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<div style="font-size: 20pt; text-align: center; ">Pour le module <em>Mathématiques pour non spécialistes</em></div>
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<div class="page-break" style="page-break-before: always;"></div>
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La *désintégration audioactive* (aussi appellée *suite* look-and-say, ou *suite de Conway*) est une suite d'entiers positifs. Elle à notamment été étudiée par John H. Conway, bien qu'elle n'aie pas été décrite d'abord par lui (elle lui à été présentée par un étudiant, comme il l'indique dans une interview publiée en 2024 : [Look-and-Say Numbers (feat John Conway) - Numberphile](https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA)).
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Son principe est assez simple :
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La règle de définition est :
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$a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
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# Notations
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- On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres
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@@ -62,7 +74,7 @@ header-auto-numbering:
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> $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$
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> - dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands $\alpha, \beta, \gamma, \delta\dots$ possibles
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^regroupement
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## Atomes
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### Atomes
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> [!definition] Découpage
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> Parfois, une chaîne $LR$ est telle que les descendants de $L$ et de $R$ n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que :
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@@ -81,7 +93,7 @@ header-auto-numbering:
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- i toute chaîne est **composée** d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne **comprends** lesdits éléments.
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## Théorèmes préliminaires
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### Théorèmes préliminaires
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> [!proposition]+ Théorème du jour 1
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> Les morceaux de type :
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@@ -321,7 +333,7 @@ header-auto-numbering:
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> > On a bien démontré que toute chaîne finit par atteindre l'un des 3 cycles décrits.
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^theoreme-fin
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## Éléments
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### Éléments
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Avant de continuer, il est nécessaire de poser une liste particulières de 92 atomes.
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On a défini plus tôt ce qu'était un [[désintégration audioactive#^def-atome|atome]].
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On peut alors décrire 92 atomes. Il est trivial de montrer que chacune de ces 92 chaînes est bien un atome (à l'aide du [[désintégration audioactive#^theoreme-de-decoupage|théorème de découpage]]).
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@@ -426,7 +438,7 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
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On notera $E_{n}$ l'élément de numéro $n$ (par exemple, $E_1$ correspond à l'hydrogène, $22$)
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## Théorèmes sur les éléments
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### Théorèmes sur les éléments
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> [!proposition]+ Théorème chimique
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@@ -437,35 +449,35 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa
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> 3. Les descendants de toutes les chaînes autres que $[\;]$ et $[22]$ finissent par contenir les 92 éléments simultanément.
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>
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> > [!démonstration]- Démonstration
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1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations.
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2. Cela est également montré par la table des élément.
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Le principe de la démonstration est le suivant :
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1. montrer que si un élément apparaît, alors n'importe quel autre élément finira par apparaître
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2. montrer que si le Lithium ($Li = E_{3}$) apparaît, alors il finira par être présent dans toutes les chaînes après un certain temps
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3. montrer que le Lithium engendre l'Uranium
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4. montrer que l'Uranium engendre tous les autres éléments
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5. conclure
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En effet, pour tout $E_{n}$ (pour $n\geq 2$) contient, dans sa chaine dérivée, l'élément $E_{n-1}$.
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Pour plus de clarté, on utilisera la notation $E_{n} \xrightarrow{k} E_{i} \& E_{j} \& \cdots$ au lieu de $\forall C \text{ chaine},\quad \forall t\in \mathbb{N},\quad E_{n} \in C_{t} \implies E_{i} \in C_{t+k} \wedge E_{j}\in C_{t+k}\dots$
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Ainsi, si l'on considère une chaine $C$ telle que l'élément $E_{n}$ apparaît après $t$ dérivations (dans $C_{t}$), et soit $m\leq n$ on peut affirmer que tous les éléments présents dans la dérivée de l'élément $E_{m}$ (colonne "éléments dans la dérivée", ligne $m$ du tableau) seront présents après $t+n-m$ dérivations (dans $C_{t+n-m}$). Autrement dit : $E_{n} \xrightarrow{n-m} \text{éléments dans la dérivée de }E_{m}$
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Ainsi on obtient que :
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- $E_{n} \xrightarrow{n-1} \ce{Hf} \& \ce{Li}$ (dès que $n\geq 2$)
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- $\begin{cases} \ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li} \\\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li} \end{cases}$ (car $\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$ et car $\ce{Hf} \xrightarrow{69} \ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\& \ce{Li}$)
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- $\ce{Hf} \xrightarrow{34} \ce{Sr}\& \ce{U}$
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- $\ce{U} \xrightarrow{92-n} E_{n}$
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De ces propriétés, on peut déduire que si l'un des éléments (différent de l'Hydrogène) contenu dans une chaîne $C_{t_0}$ à une étape $t_0$, alors :
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- Un $C_{\leq t_0 + 100}$ contiendra simultanément du Hafnium et du Lithium (la borne de $t_0+100$ n'est pas la plus petite possible mais elle est suffisante)
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- cela est montré par $E_{n}\xrightarrow{n-1} \ce{Hf}\& \ce{Li}$ pour $n\geq 2$, et par le fait qu'il y à 92 (donc moins de 100) éléments.
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- Tous les $C_{\geq t_0+ 200}$ contiendront simultanément du Hafnium et du Lithium
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- on sait déjà qu'un $C_{\leq t_0+100}$ contient simultanément du Hafnium et du Lithium. Comme $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, on sait qu'un descendant sur deux contiendra également du Hafnium et du Lithium, autrement dit : $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k}$. Pour les $t$ pairs, on utilise le fait que $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, ainsi $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k + 71}$. En combinant les deux résultat on a bien la propriété voulue.
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- Tous les $C_{\geq t_0 + 300}$ contiendront de l'Uranium
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- Cela découle de deux propriétés déjà montrées : que tous les $C_{\geq t_0 + 200}$ contiennent du Hafnium, et que $\ce{Hf}\xrightarrow{34}\ce{U}$.
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- Tous les $C_{\geq t_0 + 400}$ contiendront simultanément tous les éléments
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- $\ce{U} \in C_{t_0+300}$ donc $\ce{Pa} \in C_{t_0+301}$, et même $\ce{U\&}\ce{Pa} \in C_{t_0 + 301}$ par la propriété précédente. Pour les mêmes raison : $\ce{U\&Pa\&Th} \in C_{t_0+302},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac} \in C_{t_0+303},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac\&Ra} \in C_{t_0+303},\dots$ et ainsi de suite.
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3. Soit $L$ une chaîne différente de $[\;]$ ou $[22]$.
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Si $L$ est de la forme $L'2^{2}]$, on considère $L'$ à la place de $L$ (on ignore le $2^{2}]$).
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Ainsi, on peut affirmer que $L$ correspond soit au cycle $(1)$, soit au cycle $(2)$ dans le théorème de la fin. En observant la preuve du théorème de la fin, on remarque l'apparition du Calcium $(\ce{Ca})$ dans les deux cycles, ce qui montre qu'un descendant assez avancé de $L$ contient du Calcium,
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> > 1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations.
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> > 2. Cela est également montré par la table des élément.
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> > Le principe de la démonstration est le suivant :
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> > a. montrer que si un élément apparaît, alors n'importe quel autre élément finira par apparaître
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> > b. montrer que si le Lithium ($Li = E_{3}$) apparaît, alors il finira par être présent dans toutes les chaînes après un certain temps
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> > c. montrer que le Lithium engendre l'Uranium
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> > d. montrer que l'Uranium engendre tous les autres éléments
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> > e. conclure
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> > En effet, pour tout $E_{n}$ (pour $n\geq 2$) contient, dans sa chaine dérivée, l'élément $E_{n-1}$.
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> > Pour plus de clarté, on utilisera la notation $E_{n} \xrightarrow{k} E_{i} \& E_{j} \& \cdots$ au lieu de $\forall C \text{ chaine},\quad \forall t\in \mathbb{N},\quad E_{n} \in C_{t} \implies E_{i} \in C_{t+k} \wedge E_{j}\in C_{t+k}\dots$
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> > Ainsi, si l'on considère une chaine $C$ telle que l'élément $E_{n}$ apparaît après $t$ dérivations (dans $C_{t}$), et soit $m\leq n$ on peut affirmer que tous les éléments présents dans la dérivée de l'élément $E_{m}$ (colonne "éléments dans la dérivée", ligne $m$ du tableau) seront présents après $t+n-m$ dérivations (dans $C_{t+n-m}$). Autrement dit : $E_{n} \xrightarrow{n-m} \text{éléments dans la dérivée de }E_{m}$
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> > Ainsi on obtient que :
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> > - $E_{n} \xrightarrow{n-1} \ce{Hf} \& \ce{Li}$ (dès que $n\geq 2$)
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> > - $\begin{cases} \ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li} \\\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li} \end{cases}$ (car $\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$ et car $\ce{Hf} \xrightarrow{69} \ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\& \ce{Li}$)
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> > - $\ce{Hf} \xrightarrow{34} \ce{Sr}\& \ce{U}$
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> > - $\ce{U} \xrightarrow{92-n} E_{n}$
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> > De ces propriétés, on peut déduire que si l'un des éléments (différent de l'Hydrogène) contenu dans une chaîne $C_{t_0}$ à une étape $t_0$, alors :
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> > - Un $C_{\leq t_0 + 100}$ contiendra simultanément du Hafnium et du Lithium (la borne de $t_0+100$ n'est pas la plus petite possible mais elle est suffisante)
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> > - cela est montré par $E_{n}\xrightarrow{n-1} \ce{Hf}\& \ce{Li}$ pour $n\geq 2$, et par le fait qu'il y à 92 (donc moins de 100) éléments.
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> > - Tous les $C_{\geq t_0+ 200}$ contiendront simultanément du Hafnium et du Lithium
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> > - on sait déjà qu'un $C_{\leq t_0+100}$ contient simultanément du Hafnium et du Lithium. Comme $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, on sait qu'un descendant sur deux contiendra également du Hafnium et du Lithium, autrement dit : $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k}$. Pour les $t$ pairs, on utilise le fait que $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, ainsi $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k + 71}$. En combinant les deux résultat on a bien la propriété voulue.
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> > - Tous les $C_{\geq t_0 + 300}$ contiendront de l'Uranium
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> > - Cela découle de deux propriétés déjà montrées : que tous les $C_{\geq t_0 + 200}$ contiennent du Hafnium, et que $\ce{Hf}\xrightarrow{34}\ce{U}$.
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> > - Tous les $C_{\geq t_0 + 400}$ contiendront simultanément tous les éléments
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> > - $\ce{U} \in C_{t_0+300}$ donc $\ce{Pa} \in C_{t_0+301}$, et même $\ce{U\&}\ce{Pa} \in C_{t_0 + 301}$ par la propriété précédente. Pour les mêmes raison : $\ce{U\&Pa\&Th} \in C_{t_0+302},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac} \in C_{t_0+303},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac\&Ra} \in C_{t_0+303},\dots$ et ainsi de suite.
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> > 1. Soit $L$ une chaîne différente de $[\;]$ ou $[22]$.
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> > Si $L$ est de la forme $L'2^{2}]$, on considère $L'$ à la place de $L$ (on ignore le $2^{2}]$). On sait que l'on peut faire ce découpage : $(X\neq 2)\cdot 2^{2}] \longrightarrow (X \neq 2)\cdot 2^{2}$.
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> > Ainsi, on peut affirmer que $L$ correspond soit au cycle $(1)$, soit au cycle $(2)$ dans le théorème de la fin. En observant la preuve du théorème de la fin, on remarque l'apparition du Calcium $(\ce{Ca})$ dans les deux cycles, ce qui montre qu'un descendant assez avancé de $L$ contient du Calcium.
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> > La propriété 2
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