diff --git a/.obsidian/app.json b/.obsidian/app.json index 299bef24..22c6e9eb 100644 --- a/.obsidian/app.json +++ b/.obsidian/app.json @@ -8,11 +8,11 @@ "alwaysUpdateLinks": true, "foldHeading": true, "pdfExportSettings": { - "includeName": true, + "includeName": false, "pageSize": "A4", "landscape": false, "margin": "0", - "downscalePercent": 44 + "downscalePercent": 55 }, "defaultViewMode": "source", "autoPairMarkdown": true, diff --git a/.obsidian/community-plugins.json b/.obsidian/community-plugins.json index 5bd62238..76c6dbbd 100644 --- a/.obsidian/community-plugins.json +++ b/.obsidian/community-plugins.json @@ -40,5 +40,6 @@ "link-tree", "obsidian-sequence-hotkeys", "notebook-navigator", - "obsidian-pandoc" + "obsidian-pandoc", + "break-page" ] \ No newline at end of file diff --git a/désintégration audioactive.md b/désintégration audioactive.md index 9a26493a..3e3577dc 100644 --- a/désintégration audioactive.md +++ b/désintégration audioactive.md @@ -15,10 +15,22 @@ header-auto-numbering: --- -> [!definition] [[désintégration audioactive]] -> La règle de définition est : -> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$ -^definition +
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Désintégration audioactive
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Oscar Plaisant
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Pour le module Mathématiques pour non spécialistes
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+ + +La *désintégration audioactive* (aussi appellée *suite* look-and-say, ou *suite de Conway*) est une suite d'entiers positifs. Elle à notamment été étudiée par John H. Conway, bien qu'elle n'aie pas été décrite d'abord par lui (elle lui à été présentée par un étudiant, comme il l'indique dans une interview publiée en 2024 : [Look-and-Say Numbers (feat John Conway) - Numberphile](https://www.youtube.com/watch?v=ea7lJkEhytA)). + +Son principe est assez simple : + +La règle de définition est : + $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$ # Notations - On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres @@ -62,7 +74,7 @@ header-auto-numbering: > $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$ > - dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands $\alpha, \beta, \gamma, \delta\dots$ possibles ^regroupement -## Atomes +### Atomes > [!definition] Découpage > Parfois, une chaîne $LR$ est telle que les descendants de $L$ et de $R$ n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que : @@ -81,7 +93,7 @@ header-auto-numbering: - i toute chaîne est **composée** d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne **comprends** lesdits éléments. -## Théorèmes préliminaires +### Théorèmes préliminaires > [!proposition]+ Théorème du jour 1 > Les morceaux de type : @@ -321,7 +333,7 @@ header-auto-numbering: > > On a bien démontré que toute chaîne finit par atteindre l'un des 3 cycles décrits. ^theoreme-fin -## Éléments +### Éléments Avant de continuer, il est nécessaire de poser une liste particulières de 92 atomes. On a défini plus tôt ce qu'était un [[désintégration audioactive#^def-atome|atome]]. On peut alors décrire 92 atomes. Il est trivial de montrer que chacune de ces 92 chaînes est bien un atome (à l'aide du [[désintégration audioactive#^theoreme-de-decoupage|théorème de découpage]]). @@ -426,7 +438,7 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa On notera $E_{n}$ l'élément de numéro $n$ (par exemple, $E_1$ correspond à l'hydrogène, $22$) -## Théorèmes sur les éléments +### Théorèmes sur les éléments > [!proposition]+ Théorème chimique @@ -437,35 +449,35 @@ Conway leur donne des noms d'éléments (de l'hydrogène à l'uranium, ce qui fa > 3. Les descendants de toutes les chaînes autres que $[\;]$ et $[22]$ finissent par contenir les 92 éléments simultanément. > > > [!démonstration]- Démonstration - -1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations. -2. Cela est également montré par la table des élément. - Le principe de la démonstration est le suivant : - 1. montrer que si un élément apparaît, alors n'importe quel autre élément finira par apparaître - 2. montrer que si le Lithium ($Li = E_{3}$) apparaît, alors il finira par être présent dans toutes les chaînes après un certain temps - 3. montrer que le Lithium engendre l'Uranium - 4. montrer que l'Uranium engendre tous les autres éléments - 5. conclure - En effet, pour tout $E_{n}$ (pour $n\geq 2$) contient, dans sa chaine dérivée, l'élément $E_{n-1}$. - Pour plus de clarté, on utilisera la notation $E_{n} \xrightarrow{k} E_{i} \& E_{j} \& \cdots$ au lieu de $\forall C \text{ chaine},\quad \forall t\in \mathbb{N},\quad E_{n} \in C_{t} \implies E_{i} \in C_{t+k} \wedge E_{j}\in C_{t+k}\dots$ - Ainsi, si l'on considère une chaine $C$ telle que l'élément $E_{n}$ apparaît après $t$ dérivations (dans $C_{t}$), et soit $m\leq n$ on peut affirmer que tous les éléments présents dans la dérivée de l'élément $E_{m}$ (colonne "éléments dans la dérivée", ligne $m$ du tableau) seront présents après $t+n-m$ dérivations (dans $C_{t+n-m}$). Autrement dit : $E_{n} \xrightarrow{n-m} \text{éléments dans la dérivée de }E_{m}$ - Ainsi on obtient que : - - $E_{n} \xrightarrow{n-1} \ce{Hf} \& \ce{Li}$ (dès que $n\geq 2$) - - $\begin{cases} \ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li} \\\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li} \end{cases}$ (car $\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$ et car $\ce{Hf} \xrightarrow{69} \ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\& \ce{Li}$) - - $\ce{Hf} \xrightarrow{34} \ce{Sr}\& \ce{U}$ - - $\ce{U} \xrightarrow{92-n} E_{n}$ - De ces propriétés, on peut déduire que si l'un des éléments (différent de l'Hydrogène) contenu dans une chaîne $C_{t_0}$ à une étape $t_0$, alors : - - Un $C_{\leq t_0 + 100}$ contiendra simultanément du Hafnium et du Lithium (la borne de $t_0+100$ n'est pas la plus petite possible mais elle est suffisante) - - cela est montré par $E_{n}\xrightarrow{n-1} \ce{Hf}\& \ce{Li}$ pour $n\geq 2$, et par le fait qu'il y à 92 (donc moins de 100) éléments. - - Tous les $C_{\geq t_0+ 200}$ contiendront simultanément du Hafnium et du Lithium - - on sait déjà qu'un $C_{\leq t_0+100}$ contient simultanément du Hafnium et du Lithium. Comme $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, on sait qu'un descendant sur deux contiendra également du Hafnium et du Lithium, autrement dit : $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k}$. Pour les $t$ pairs, on utilise le fait que $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, ainsi $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k + 71}$. En combinant les deux résultat on a bien la propriété voulue. - - Tous les $C_{\geq t_0 + 300}$ contiendront de l'Uranium - - Cela découle de deux propriétés déjà montrées : que tous les $C_{\geq t_0 + 200}$ contiennent du Hafnium, et que $\ce{Hf}\xrightarrow{34}\ce{U}$. - - Tous les $C_{\geq t_0 + 400}$ contiendront simultanément tous les éléments - - $\ce{U} \in C_{t_0+300}$ donc $\ce{Pa} \in C_{t_0+301}$, et même $\ce{U\&}\ce{Pa} \in C_{t_0 + 301}$ par la propriété précédente. Pour les mêmes raison : $\ce{U\&Pa\&Th} \in C_{t_0+302},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac} \in C_{t_0+303},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac\&Ra} \in C_{t_0+303},\dots$ et ainsi de suite. -3. Soit $L$ une chaîne différente de $[\;]$ ou $[22]$. - Si $L$ est de la forme $L'2^{2}]$, on considère $L'$ à la place de $L$ (on ignore le $2^{2}]$). - Ainsi, on peut affirmer que $L$ correspond soit au cycle $(1)$, soit au cycle $(2)$ dans le théorème de la fin. En observant la preuve du théorème de la fin, on remarque l'apparition du Calcium $(\ce{Ca})$ dans les deux cycles, ce qui montre qu'un descendant assez avancé de $L$ contient du Calcium, +> > 1. Cela est montré par la table des éléments donnée plus haut. Le lecteur sceptique pourra vérifier la correction des dérivations. +> > 2. Cela est également montré par la table des élément. +> > Le principe de la démonstration est le suivant : +> > a. montrer que si un élément apparaît, alors n'importe quel autre élément finira par apparaître +> > b. montrer que si le Lithium ($Li = E_{3}$) apparaît, alors il finira par être présent dans toutes les chaînes après un certain temps +> > c. montrer que le Lithium engendre l'Uranium +> > d. montrer que l'Uranium engendre tous les autres éléments +> > e. conclure +> > En effet, pour tout $E_{n}$ (pour $n\geq 2$) contient, dans sa chaine dérivée, l'élément $E_{n-1}$. +> > Pour plus de clarté, on utilisera la notation $E_{n} \xrightarrow{k} E_{i} \& E_{j} \& \cdots$ au lieu de $\forall C \text{ chaine},\quad \forall t\in \mathbb{N},\quad E_{n} \in C_{t} \implies E_{i} \in C_{t+k} \wedge E_{j}\in C_{t+k}\dots$ +> > Ainsi, si l'on considère une chaine $C$ telle que l'élément $E_{n}$ apparaît après $t$ dérivations (dans $C_{t}$), et soit $m\leq n$ on peut affirmer que tous les éléments présents dans la dérivée de l'élément $E_{m}$ (colonne "éléments dans la dérivée", ligne $m$ du tableau) seront présents après $t+n-m$ dérivations (dans $C_{t+n-m}$). Autrement dit : $E_{n} \xrightarrow{n-m} \text{éléments dans la dérivée de }E_{m}$ +> > Ainsi on obtient que : +> > - $E_{n} \xrightarrow{n-1} \ce{Hf} \& \ce{Li}$ (dès que $n\geq 2$) +> > - $\begin{cases} \ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li} \\\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li} \end{cases}$ (car $\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$ et car $\ce{Hf} \xrightarrow{69} \ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\& \ce{Li}$) +> > - $\ce{Hf} \xrightarrow{34} \ce{Sr}\& \ce{U}$ +> > - $\ce{U} \xrightarrow{92-n} E_{n}$ +> > De ces propriétés, on peut déduire que si l'un des éléments (différent de l'Hydrogène) contenu dans une chaîne $C_{t_0}$ à une étape $t_0$, alors : +> > - Un $C_{\leq t_0 + 100}$ contiendra simultanément du Hafnium et du Lithium (la borne de $t_0+100$ n'est pas la plus petite possible mais elle est suffisante) +> > - cela est montré par $E_{n}\xrightarrow{n-1} \ce{Hf}\& \ce{Li}$ pour $n\geq 2$, et par le fait qu'il y à 92 (donc moins de 100) éléments. +> > - Tous les $C_{\geq t_0+ 200}$ contiendront simultanément du Hafnium et du Lithium +> > - on sait déjà qu'un $C_{\leq t_0+100}$ contient simultanément du Hafnium et du Lithium. Comme $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{2} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, on sait qu'un descendant sur deux contiendra également du Hafnium et du Lithium, autrement dit : $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k}$. Pour les $t$ pairs, on utilise le fait que $\ce{Hf}\&\ce{Li} \xrightarrow{71} \ce{Hf}\&\ce{Li}$, ainsi $\exists t \leq t_0 + 100,\quad \forall k \in \mathbb{N},\quad \ce{Hf}\&\ce{Li} \in C_{t + 2k + 71}$. En combinant les deux résultat on a bien la propriété voulue. +> > - Tous les $C_{\geq t_0 + 300}$ contiendront de l'Uranium +> > - Cela découle de deux propriétés déjà montrées : que tous les $C_{\geq t_0 + 200}$ contiennent du Hafnium, et que $\ce{Hf}\xrightarrow{34}\ce{U}$. +> > - Tous les $C_{\geq t_0 + 400}$ contiendront simultanément tous les éléments +> > - $\ce{U} \in C_{t_0+300}$ donc $\ce{Pa} \in C_{t_0+301}$, et même $\ce{U\&}\ce{Pa} \in C_{t_0 + 301}$ par la propriété précédente. Pour les mêmes raison : $\ce{U\&Pa\&Th} \in C_{t_0+302},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac} \in C_{t_0+303},\quad$ $\ce{U\&Pa\&Th\&Ac\&Ra} \in C_{t_0+303},\dots$ et ainsi de suite. +> > 1. Soit $L$ une chaîne différente de $[\;]$ ou $[22]$. +> > Si $L$ est de la forme $L'2^{2}]$, on considère $L'$ à la place de $L$ (on ignore le $2^{2}]$). On sait que l'on peut faire ce découpage : $(X\neq 2)\cdot 2^{2}] \longrightarrow (X \neq 2)\cdot 2^{2}$. +> > Ainsi, on peut affirmer que $L$ correspond soit au cycle $(1)$, soit au cycle $(2)$ dans le théorème de la fin. En observant la preuve du théorème de la fin, on remarque l'apparition du Calcium $(\ce{Ca})$ dans les deux cycles, ce qui montre qu'un descendant assez avancé de $L$ contient du Calcium. +> > La propriété 2