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éléments inversibles.md

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 aliases:
-  - symétrique
-  - symétrisable
-  - symétrisables
   - inverse
+up: "[[structure algébrique]]"
+tags:
+  - "#s/maths/algèbre"
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-up::[[structure algébrique]]
-title::"$x$ est symétrisable si $\exists x' \in E, x*x' = x'*x = e$ l'[[élément neutre]]"
-#s/maths/algèbre
 
 > [!definition] éléments inversibles
 > Soit $E$ in ensemble muni d'une [[loi de composition interne]] $*$, et contenant un [[élément neutre|élément neutre]] $e$.
@@ -32,32 +29,3 @@ title::"$x$ est symétrisable si $\exists x' \in E, x*x' = x'*x = e$ l'[[éléme
 > Si la loi est notée additivement, le symétrique de $a$ sera noté $-a$
 > Si la loi est notée multiplicativement, le symétrique de $a$ sera noté $a^{-1}$
 
-# Propriété
-Si un élément $a\in E$ possède un symétrique $a'$, ce symétrique est unique.
-
-## Démonstration
-On suppose qu'un élément $a\in E$ possède deux symétriques $a'$ et $a''$ pour la loi $*$. (On suppose que $e$ possède un élément neutre $e$).
-Alors :
- - $a*a' = e = a'*a$
- - $a*a'' = e = a''*a$
- - $a''*(a*a') = (a''*a)*a'$
- - $a''*e = e*a'$, soit $a''=a$
-Il n'est dont pas possible qu'un élément possède deux symétriques.
-
-Donc tout élément de $E$ possède au maximum un symétrique
-
-
-
-
-# Propriété
-On suppose que deux éléments $x_1$ et $x_2$ dans $E$ possèdent chacun un symétrique. La loi $*$ est supposée associative.
-$x_1*x_1^{-1} = e = x_1^{-1} * x_1$
-$x_2*x_2^{-1} = e = x_2^{-1} * x_2$
-$\begin{aligned}(x_1*x_2)*(x_2^{-1}*x_1^{-1}) &= x_1 * (x_2*x_2^{-1})*x_1{-1}\\ &= x_1*(e*x_1^{-1})\\ &= x_1*c_1^{-1}\\ &= e\end{aligned}$
-
-
-Donc $x_2^{-1} * x_1{-1}$ est un symétrique à droite de $x_1*x_2$.
-
-$\begin{aligned}(x_2^{-1}*x_1^{-1})*(x_1*x_2) &= x_2^{-1}*(x_1^{-1}*x_1)*x_2\\ &= x_2^{-1}*x_2\\ &= e\end{aligned}$
-$(x_1*x_2)^{-1} = x_2^{-1}*x_1^{-1}$
-(La symétrisation est distributive sur sa loi)