eduroam-prg-sg-1-46-135.net.univ-paris-diderot.fr 2025-10-1:14:2:29

théorème de Łoś.md

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+---
+up:
+  - "[[ultrafiltre]]"
+tags:
+  - s/maths/logique
+  - s/maths/topologie
+aliases:
+---
+- i Łoś se prononce "Wosh"
+
+> [!proposition]+ Lemme du [[théorème de Łoś]]
+> Soit $\mathscr{F}$ un filtre non trivial sur un ensemble $X$
+> Il y à équivalence entre ces 3 propositions :
+>  1. $\mathscr{F}$ est un ultrafiltre
+>  2. si $A, B\subseteq X$ vérifient $A \cup B \in \mathscr{F}$ alors $A \in \mathscr{F}$ et $B \in \mathscr{F}$
+>  3. si $A \subseteq X$ alors $A \in \mathscr{F}$ ou $(X \setminus A) \in \mathscr{F}$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > **$1 \implies 2$**
+> > Soit $\mathscr{F}$ un [[ultrafiltre]] sur $X$
+> > on suppose $A \cup B unn \mathscr{F}$ mais $B \notin \mathscr{F}$
+> > Démontrons $A \in \mathscr{F}$ :
+> > Soit $\mathscr{F}'$ l'ensemble des parties de $X$ qui contiennent une partie de la forme $A \cap F$ où $F \in \mathscr{F}$
+> > $\mathscr{F}'$ est un filtre non trivial qui contient $\mathscr{F}$ (admis)
+> > Alors :
+> > $\mathscr{F}' = \mathscr{F}$ ($\mathscr{F}$ est un ultrafiltre)
+> > $F = A \cup B \in \mathscr{F}$
+> > donc $A \cap F \in \mathscr{F}'$
+> > et donc $A \cap F \in \mathscr{F}$
+
+> [!proposition]+ [[théorème de Łoś]]
+> On considère une famille $(M_{i})_{i \in I}$ de structures pour une signature logique donnée
+> Soit $\mathcal{U}$ un [[ultrafiltre]] sur $I$
+> Pour tout énoncé $\varphi$ (autrement dit, pour toute formule $\varphi(x_1, \dots, x_{n})$) et pour tout $\alpha^{\mathcal{U}} \in \prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}} M_{i}$
+> on a équivalence entre les énoncés suivants :
+>  4. l'[[ultraproduit]] $\prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}}M_{i}$ satisfait $\varphi$
+>      - i.e. : $\prod\limits_{i \in I}{}^{\mathcal{U}} M_{i} \models \varphi$
+>  5. l'ensemble des $i \in I$ tels que $M_{i}$ satisfait $\varphi$ ($M_{i} \models \varphi$) appartient à $\mathcal{U}$
+>      - $\{ i \in I \mid M_{i} \models \varphi \} \subseteq \mathcal{U}$
+> 
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