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ensemble récursif primitif.md

@@ -40,4 +40,13 @@ aliases:
 
 # Exemples
 
+> [!example] $\mathbb{N}$
+>  - dem Sa fonction caractéristique est la fonction constante de $\mathscr{F}_{1}$ égale à $1$
 
+> [!example] $2\mathbb{N}$ (nombres pairs)
+> - dem sa fonction caractéristique est définie par récurrence par $\chi(0) = 1$ et $\chi(n+1) = 1 \dot{-} \chi (n)$
+
+> [!example] Ensemble des nombres premiers
+> L'ensemble des nombres premiers est récursif primitif.
+> En effet, $x$ est premier si et seuleemnt si $x > 1$ et $\forall y \leq x,\quad (y \leq 1 \vee y \text{ ne divise pas } x)$
+>  

fonction pi.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+---
+up:
+  - "[[nombre premier]]"
+tags:
+  - s/maths
+aliases:
+  - fonction π
+---
+
+> [!definition] [[fonction pi]]
+> 
+^definition
+
+# Propriétés
+
+# Exemples
+

fonction récursive primitive.md

@@ -172,6 +172,17 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 > Alors la fonction $\lambda x_1 x_2\dots x_{p}. f(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \dots, x_{\sigma(p)})$ est aussi récursive primitive
 >  - dem cette fonction est égale à $f(P_{p}^{\sigma(1)}, P_{p}^{\sigma(2)}, \dots, P_{p}^{\sigma(p)})$
 
+> [!proposition]+ clôture par quantification bornée
+> L'ensemble des prédicats récursifs primitifs est clos par **quantification bornée**.
+> Cela veut dire que, si $A \subseteq \mathbb{N}^{p+1}$ est [[ensemble récursif primitif|récursif primitif]], alors les ensembles suivants le sont aussi :
+>  - $B = \{ (\overline{x}, z) \in \mathbb{N}^{p+1} \mid \exists t \leq z,\quad (\overline{x}, t) \in A \}$
+>  - $C = \{ (\overline{x}, z) \in \mathbb{N}^{p+1} \mid \forall t \leq z (\overline{x}, t) \in A \}$
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > La fonction caractéristique de $B$ est donnée par :
+> > $\chi _{B}(\overline{x}, z) = \mathrm{sg}\left( \sum\limits_{t=0}^{z} \chi _{A}(\overline{x}, t) \right)$
+> > et celle de $C$ par :
+> > $\chi _{C}(\overline{x}, z) = \mathrm{sg}\left( \prod\limits_{t=0}^{z} \chi _{A}(\overline{x}, t) \right)$
 
 ## Schémas de définition supplémentaires
 On peut trouver de nouveaux schémas de définitions de fonctions qui sont stables sur les fonctions récursives primitives.
@@ -216,3 +227,10 @@ On peut trouver de nouveaux schémas de définitions de fonctions qui sont stabl
 
 
 # Exemples
+
+> [!example] fonction partie entière $q(x, y)$
+> La fonction $q(x, y)$ égale à la partie entière de $\frac{x}{y}$ si $y \neq 0$ et à $0$ si $y=0$ est récursive primitive.
+>  - dem elle est définie par : $q(x, y) = \mu t \leq x ((t+1)\cdot y  > x)$
+
+> [!example] [[fonction pi]]
+>