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fonction récursive primitive.md

@@ -161,6 +161,7 @@ Dans cette section, on démontre que quelques fonctions élémentaires sont réc
 > 
 > > [!corollaire] factorielle
 > > La factorielle peut être définie comme un produit limité, et est donc récursive primitive
+^somme-et-produits-limites
 
 ## Propriétés de clôture
 
@@ -210,6 +211,8 @@ On peut trouver de nouveaux schémas de définitions de fonctions qui sont stabl
 > >      - $\sup(x_1, x_2, \dots, x_{p}) = x_{p}$ sinon
 ^schema-par-cas
 
+![[schéma mu borné#^main|schéma µ borné]]
+
 
 
 # Exemples

schéma mu borné.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+---
+up:
+  - "[[fonction récursive primitive]]"
+tags:
+  - s/informatique
+  - s/maths/logique
+aliases:
+  - schéma µ borné
+---
+
+> [!proposition] schéma mu borné
+> Soit $A \subseteq \mathbb{N}^{p+1}$ un [[ensemble récursif primitif]]
+> La fonction $f \in \mathscr{F}_{p+1}$ définie comme suit est [[fonction récursive primitive|récursive primitive]] :
+>  - $f(\overline{x}, z) = 0$ s'il n'existe pas d'entier $t \leq z$ tel que $(\overline{x}, t) \in A$
+>  - sinon $f(\overline{x}, z)$ est égal au plus petit des entiers $t \leq z$ tels que $(\overline{x}, t) \in A$
+> - i On utilisera la notation : $\boxed{f(\overline{x}, z) = \mu t \leq z ((\overline{x}, t) \in A)}$
+> 
+> > [!definition] Définition formelle
+> > La fonction $f$ est définie par récurrence, [[fonction récursive primitive#^schema-par-cas|schéma de définition par cas]], et par [[fonction récursive primitive#^somme-et-produits-limites|somme limitée]] :
+> >  - $f(\overline{x}, 0) = 0$
+> >  - $f(\overline{x}, z+1) = f(\overline{x}, z)$ si $\sum\limits_{y=0}^{z} \Big( \chi _{A}(\overline{x}, y) \Big)\geq 1$ (permet de tester si au moins un $y \leq z$ est dans $A$)
+> >  - $f(\overline{x}, z+1) = z+1$ sinon et si $(\overline{x}, z+1) \in A$
+> >  - $f(\overline{x}, z+1) = 0$ dans les autres cas
+^main