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polynôme d'endomorphisme.md
polynôme minimal.md

polynôme d'endomorphisme.md

@@ -36,10 +36,17 @@ tags:
 > 
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > $P(f)(f(x)) = f(P(f)(x))=0$ donc $f(x) = \ker P(f)$
-> > De même, si $x \in \operatorname{Im}(P(f))$ alors il existe $y \in E$ tel que $x = P(f)(y)$, et on a alors $f(x) = f(P(f)(y))$
+> > De même, si $x \in \operatorname{Im}(P(f))$ alors il existe $y \in E$ tel que $x = P(f)(y)$, et on a alors $f(x) = f(P(f)(y)) \in \operatorname{Im}(f)$
 
+> [!proposition]+ Valeurs propres
+> Si $\lambda$ est [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] de $f$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(f)$
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > On montre par réccurence que $\lambda^{k}$ est valeurs propre de $f^{k}$ et on en déduit le résultat.
 
-- Si $\lambda$ est [[valeur propre d'une matrice|valeur propre]] de $f$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(f)$
+> [!proposition]+ Lemme des noyaux
+> Soit $f \in \mathscr{L}(E)$ et $P_1, \dots, P_{k} \in K[X]$ deux à deux premiers entre eux
+> Posons $P = P_1 \cdot P_2 \cdots P_{k}$
+> alors : $\ker P(f) = \oplus _{i=1}^{k} \ker P_{i}(f)$
 
 
 # Exemples

polynôme minimal.md

@@ -0,0 +1,17 @@
+---
+aliases:
+  - minimal
+up:
+  - "[[polynôme]]"
+tags:
+  - s/maths/algèbre
+---
+
+> [!definition] Définition
+> 
+^definition
+
+# Propriétés
+
+# Exemples
+