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fonction partielle.md

@@ -30,6 +30,13 @@ aliases:
 >  - $h(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ n'est pas définie si l'une des $f_{i}(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ n'est pas défini ou si, toutes l'étant, $g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))$ n'est pas définie
 >  - Dans le cas contraire, $h(x_1, x_2, \dots, x_{p}) := g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))$
 
+> [!definition] Récurrence
+> Soient $g \in \mathscr{F}^{*}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}^{*}_{p+2}$
+> Il existe une et une seule fonction $f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}$ vérifiant les conditions suivantes :
+>  - $\forall (\overline{x}) \in \mathbb{N}^{p},\quad f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})$ (donc, $f(\overline{x}, 0)$ est définie si et seulement si $g(\overline{x})$ l'est, et lui est égale dans ce cas)
+>  - $\forall (\overline{x}, y) \in \mathbb{N}^{p+1},\quad f(\overline{x}, y+1) = h (\overline{x}, y, f(\overline{x}, y)$ (même remarque que plus haut)
+>  - i on dira que $f$ est **définie par récurrence à partir de $g$ et $h$**
+
 # Propriétés
 
 # Exemples