device-56.home 2026-3-24:21:24:26

.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json

@@ -651,7 +651,7 @@
           "alias": false
         },
         "lock_view": false,
-        "lock_path": "fonction totale.md"
+        "lock_path": "schéma mu.md"
       }
     },
     "codeblocks": {

fonction partielle.md

@@ -30,6 +30,13 @@ aliases:
 >  - $h(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ n'est pas définie si l'une des $f_{i}(x_1, x_2, \dots, x_{p})$ n'est pas défini ou si, toutes l'étant, $g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))$ n'est pas définie
 >  - Dans le cas contraire, $h(x_1, x_2, \dots, x_{p}) := g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))$
 
+> [!definition] Récurrence
+> Soient $g \in \mathscr{F}^{*}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}^{*}_{p+2}$
+> Il existe une et une seule fonction $f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}$ vérifiant les conditions suivantes :
+>  - $\forall (\overline{x}) \in \mathbb{N}^{p},\quad f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})$ (donc, $f(\overline{x}, 0)$ est définie si et seulement si $g(\overline{x})$ l'est, et lui est égale dans ce cas)
+>  - $\forall (\overline{x}, y) \in \mathbb{N}^{p+1},\quad f(\overline{x}, y+1) = h (\overline{x}, y, f(\overline{x}, y)$ (même remarque que plus haut)
+>  - i on dira que $f$ est **définie par récurrence à partir de $g$ et $h$**
+
 # Propriétés
 
 # Exemples

schéma mu.md

@@ -1,6 +1,6 @@
 ---
 up:
-  - "[[fonction récursive]]"
+  - "[[fonction partielle]]"
 tags:
   - s/maths/logique
   - s/informatique
@@ -10,11 +10,28 @@ aliases:
 ---
 
 > [!definition] [[schéma mu]]
-> Soit $A \subseteq \mathbb{N}^{p+1}$
-> La fonction $F$ définie par le schéma $\mu$ sur $A$ est alors la fonction : 
-> $\begin{array}{rrcl} f :& \mathbb{N}^{p} &\to& \mathbb{N}\\ &(x_1, x_2, \dots, x_{p}) &\mapsto& \text{le plus petit } z \text{ tel que } (x_1, x_2, \dots, x_{p}, z) \in A  \end{array}$
+> Soit $f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}$, alors la [[fonction partielle]] :
+> $g(\overline{x}) = \mu y(f(\overline{x}, y) = 0)$
+> est définie de la façon suivante :
+>  - S'il existe au moins un entier $z$ tel que $f(\overline{x}, z)$ soit nul et que, pour tout $z' < z$, $f(\overline{x}, z')$ soit définie, alors $g(\overline{x})$ est le plus petit de ces entiers $z$
+>  - Dans le as contraire, $g(\overline{x})$ n'est pas définie.
+> ---
+> Pour les ensembles:
+> Si $A \subseteq \mathbb{N}^{p+1}$, alors :
+> $\mu y((\overline{x}, y) \in A) = \mu y(1 \dot{-} \chi _{A}(\overline{x}, y) = 0)$
 ^definition
 
+> [!definition] [[schéma mu]] – Définition courte
+> Soit $f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1}$
+> Le schéma $\mu$ permet de définir $g(\overline{x}) = \mu y(f(\overline{x}, y) = 0)$
+> Cette fonction $g$ est la fonction qui donne le plus petit $z$ 
+
+> [!idea] Intuition
+> L'idée est de préserver la propriété de posséder un algorithme de calcul.
+> Pour calculer $\mu y (f(\overline{x}, y)=0)$, on cherchera itérativement une valeur de $y$ en commençant par 0.
+> Le problème est que, si $f(\overline{x}, y)$ n'est pas définie pour l'une de ces valeurs, notre algorithme ne pourrait pas la calculer.
+> C'est pour cela que, si une des valeurs n'est pas dans le [[fonction partielle#^definition|domaine de définition]] de $f$, on considèrera que la recherche s'arrête ici.
+
 # Propriétés
 
 # Exemples