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[!definition] fonction partielle Une fonction partielle de \mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N} est un couple (A, f) où A \subseteq \mathbb{N}^{p} et f est une application de A \to \mathbb{N}.

• i A est appelé domaine de définition de la fonction
• i si (a_1, a_2,\dots, a_{p}) \notin A on dira que la fonction n'est pas définie en (a_1, a_2, \dots, a_{p})
• so Deux fonctions partielles sont égales si elles ont le même domaine de définition, et si elles sont égales sur ce domaine ^definition

• une fonction partielle définie partout est une fonction totale

[!info] Notation On notera :

• f pour désigner, le couple (A, f)

• \mathscr{F}^{*}_{p} l'ensemble des fonctions partielles de \mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}

• \mathscr{F}^{*} = \bigcup _{p \geq 0} \mathscr{F}_{p}^{*}

• ! on réservera le mot "fonction" aux fonction totale

Définitions supplémentaires

[!definition] Composée Soient f_1, f_2, \dots, f_{n} \in \mathscr{F}_{p} et g \in \mathscr{F}_{n} La fonction composée h = g(f_1, f_2, \dots, f_{n}) est l'élément de \mathscr{F}^{*}_{p} défini comme suit :

• h(x_1, x_2, \dots, x_{p}) n'est pas définie si l'une des f_{i}(x_1, x_2, \dots, x_{p}) n'est pas défini ou si, toutes l'étant, g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p})) n'est pas définie
• Dans le cas contraire, h(x_1, x_2, \dots, x_{p}) := g(f_1(x_1, x_2, \dots, x_{p}), f_2(x_1, x_2, \dots, x_{p}), \dots, f_{n}(x_1, x_2, \dots, x_{p}))

[!definition] Récurrence Soient g \in \mathscr{F}^{*}_{p} et h \in \mathscr{F}^{*}_{p+2} Il existe une et une seule fonction f \in \mathscr{F}^{*}_{p+1} vérifiant les conditions suivantes :

• \forall (\overline{x}) \in \mathbb{N}^{p},\quad f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x}) (donc, f(\overline{x}, 0) est définie si et seulement si g(\overline{x}) l'est, et lui est égale dans ce cas)
• \forall (\overline{x}, y) \in \mathbb{N}^{p+1},\quad f(\overline{x}, y+1) = h (\overline{x}, y, f(\overline{x}, y) (même remarque que plus haut)
• i on dira que f est définie par récurrence à partir de g et $h$

Propriétés

Exemples