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.obsidian/plugins/breadcrumbs/data.json

@@ -651,7 +651,7 @@
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         },
         "lock_view": false,
-        "lock_path": "fonction d'ackermann de cori et lascar.md"
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     },
     "codeblocks": {

fonction d'ackermann de cori et lascar.md

@@ -7,6 +7,9 @@ tags:
 aliases:
 ---
 
+> [!info] But de la note
+> Cette note à pour but de montrer qu'une certaine fonction $\xi \in \mathbb{N}^{2} \to \mathbb{N}$ n'est pas [[fonction récursive primitive|récursive primitive]].
+> Cela permet d'affirmer que toutes les fonctions de $\mathbb{N}^{p} \to \mathbb{N}$ ne sont pas récursives primitives.
 
 > [!definition] [[fonction d'ackermann de cori et lascar]]
 > [[fonction d'Ackermann]] modifiée pour la simplicité des preuves.
@@ -214,7 +217,7 @@ aliases:
 > >    Or, la fonction $\lambda \overline{x}y. \xi _{n+1}(\sup\limits(\overline{x}, y, A_{g}, A_{h})+k_{h}+yk_{h})$ s'obtient par composition de fonctions de $C_{n+1}$ et est donc dans $C_{n+1}$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-5|Lemme 5]]), ce qui montre que $f \in C_{n+1}$
 ^cloture-par-recurrence
 
-> [!proposition] Corollaire : $\displaystyle \mathscr{F} \subseteq \bigcup _{n\in \mathbb{N}} C_{n}$
+> [!proposition] Corollaire : toutes les fonctions récursives primitives sont dans un $C_{n}$
 > $\displaystyle\bigcup _{n \in \mathbb{N}} C_{n}$ contient toutes les [[fonction récursive primitive|fonctions récursives primitives]].
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > En effet : 
@@ -223,7 +226,7 @@ aliases:
 > >    
 > > Ce qui, [[fonction récursive primitive#^definition-courte|par définition]] de $\mathscr{F}$ montre que $\displaystyle\mathscr{F} \subseteq \bigcup _{n \in \mathbb{N}}C_{n}$
 
-> [!proposition]+ Théorème
+> [!proposition]+ Théorème : $\xi$ n'est pas [[fonction récursive primitive|récursive primitive]]
 > La fonction d'Ackermann $\xi$ n'est pas [[fonction récursive primitive|récursive primitive]].
 > > [!démonstration]- Démonstration
 > > Supposons par l'absurde que $\xi$ est récursive primitive.
@@ -232,8 +235,10 @@ aliases:
 > > Donc, par le [[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-6|Lemme 6]] on a que pour tout $x > A$ : $\xi _{x, 2x} \leq \xi _{n}^{k}(x) \leq \xi _{n+1}(x+k)$
 > > 
 > > Or, si $x > \sup\limits(A, k, n+1)$ on a :
-> > $\begin{align} \xi _{n+1}(x+k) &< \xi _{n+1}(2x) \quad\text{par le Lemme 4} \\&< \xi _{n} \end{align}$
+> > $\begin{align} \xi _{n+1}(x+k) &= \xi _{n}(\xi _{n+1}(x+k-1)) \\&\leq \xi _{n}(\xi _{n+1}(2x)) \quad\text{par croissance (Lemme 4)} \\&< \xi _{n+1}(2x)  < \xi _{x}(2x) = \xi(x, 2x) \quad\text{(Lemme 4)} \end{align}$
 > > 
-
+> > Ainsi, on a montré $\xi(x, 2x) \leq \xi _{n+1}(x+k)$ et $\xi(x, 2x) > \xi _{n+1}(x+k)$, ce qui est absurde.
+> > Cela montre bien que notre supposition est absurde, et donc que $\xi$ ne peut pas être récursive primitive.
+^thm-pas-recursive-primitive
 
 

fonction récursive.md

@@ -0,0 +1,20 @@
+---
+up:
+  - "[[fonction récursive primitive]]"
+tags:
+  - s/maths/logique
+  - s/informatique
+aliases:
+  - fonctions récursives
+---
+
+> [!definition] [[fonction récursive]]
+> On définitit l'ensemble les fonctions récursives en prennant la [[fonction récursive primitive#^definition-courte|définition des fonctions récursives primitives]] et en lui ajoutant un schéma de définition supplémentaire, le [[schéma mu|schéma µ non borné]].
+^definition
+
+
+
+# Propriétés
+
+# Exemples
+

schéma mu.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+---
+up:
+  - "[[fonction récursive]]"
+tags:
+  - s/maths/logique
+  - s/informatique
+aliases:
+  - schéma µ
+  - schéma µ non borné
+---
+
+> [!definition] [[schéma mu]]
+> 
+^definition
+
+# Propriétés
+
+# Exemples
+