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fonction d'ackermann de cori et lascar.md

@@ -51,6 +51,8 @@ aliases:
 > >        $\xi _{n}(x+1) = \xi _{n-1}(\xi _{n}(x)) \geq \xi _{n}(x)+1 > x+1$
 > >        Ce qui montre bien la relation de récurrence
 > >    
+^lemme 1
+^lemme-1
 
 > [!corollaire] Lemme 2 : $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
 > Pour tout entiers $x$ et $n$ on a $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
@@ -60,12 +62,21 @@ aliases:
 > >    $\xi_0(x+1) = 2^{x+1} > 2^{x} = \xi _{0}(x+1)$
 > >  - **Récurrence** pour un $n$ fixé on suppose $\xi _{n}(x+1) > \xi _{n}(x)$
 > >    On veut alors montrer que $\xi _{n+1}(x+1) > \xi _{n+1}(x)$
-> >    $\xi _{n+1}(x+1) = \underbrace{\xi _{n}(\xi _{n+1}(x)) > \xi _{n+1}(x)}_{\text{par le lemme 1}}$
+> >    $\xi _{n+1}(x+1) = \underbrace{\xi _{n}(\xi _{n+1}(x)) > \xi _{n+1}(x)}_{\text{par le lemme 1}}$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|lemme 1]])
+^lemme-2
 
 > [!corollaire] Lemme 3 $\xi _{n}(x) \geq \xi _{n-1}(x)$
 > Pour tout $n \geq 1$ et pour tout $x$ on a $\xi _{n}(x) \geq \xi _{n-1}(x)$
 > > [!démonstration]- Démonstration
-> > 
+> > On procède par récurrence sur $x$ :
+> >  - **Initialisation :** pour $x=0$
+> >    On a $\xi _{n}(0) = 1 \geq 1 = \xi _{n-1}(0)$
+> >  - **Récurrence :** pour un $x$ fixé, on suppose $\xi _{n}(x)\geq \xi _{n-1}(x)$
+> >    On veut alors montrer que $\xi _{n}(x+1)\geq \xi _{n-1}(x+1)$
+> >    On sait que $\xi _{n}(x) \geq x+1$ ([[fonction d'ackermann de cori et lascar#^lemme-1|lemme 1]])
+> >    Et comme $\xi _{n}$
+^lemme-3
+
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