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fonction récursive primitive.md

@@ -30,22 +30,28 @@ aliases:
 >  - $E$ contient toutes les fonctions constantes de $\mathscr{F}$
 >  - $E$ contient toutes les projections $P_{p}^{i}$ pour tous les entiers $p$ et $i$ avec $1 \leq i \leq p$
 >  - $E$ contient la fonction successeur $S$
->  - $E$ est clos par composition, c'est-à-dire que si $n$ et $p$ sont des entiers, si $f_1, f_2, \dots, f_{n}$ sont des fonctions de $\mathscr{F}_{p}$ qui sont aussi dans $E$, et si $g \in \mathscr{F}_{n}$ est aussi dans $E$, alors la fonction composée $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ appartient à E
+>  - $E$ est clos par composition, c'est-à-dire que si $n,p \in \mathbb{N}$ , si $f_1, f_2, \dots, f_{n}$ sont des fonctions de $\mathscr{F}_{p}$ qui sont aussi dans $E$, et si $g \in \mathscr{F}_{n}$ est aussi dans $E$, alors la fonction composée $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ appartient à E
+>  - $E$ est clos par récurrence, cc'est-à-dire que si $p \in N$, si $g \in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$ sont dans $E$, alors la fonction $f \in \mathscr{F}_{p+1}$ définie par récurrence à partir de $g$ et $h$ est aussi dans $E$ : $f : \begin{cases} f(x_1,x_2, \dots, x_{p}, 0) = g(x_1, x_2, \dots, x_{p})\\ f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y+1) = h(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y, f(x_1, x_2, \dots, x_{p}, y)) \end{cases}$
 > 
 ^definition
 
 > [!definition] Définition courte
-> Soient $\mathscr{F}_{p} := \mathbb{N}^{(\mathbb{N}^{p})}$ (pour $p \in \mathbb{N}$) et $\displaystyle\mathscr{F} = \bigcup _{p \in \mathbb{N}}\mathscr{F}_{p}$ 
-> En notant $P_{p}^{i}$ la fonction de $\mathscr{F}_{p}$ telle que $P_{p}^{i}(x_1, \dots, x_{p}) = x_{i}$ (pour $1 \leq i \leq p$ dans $\mathbb{N}$)
-> En notant $S$ la fonction suivant : $S(x) = x+1$  (sur $\mathbb{N}$)
-> En notant $C_{p}^{v}$
+> Soit $\mathscr{F}$ l'ensemble des fonctions à valeurs entières et à paramètres entiers.
 > L'ensemble des **fonctions récursives primitives** est alors le plus petit des sous ensembles $E$ de $\mathscr{F}$ tel que :
->  - $E$ contient toutes les fonctions constantes de $\mathscr{F}$
->  - $P_{p}^{i} \in E$ 
->  - $E$ contient la fonction successeur $S$
->  - $E$ est clos par composition, c'est-à-dire que si $n$ et $p$ sont des entiers, si $f_1, f_2, \dots, f_{n}$ sont des fonctions de $\mathscr{F}_{p}$ qui sont aussi dans $E$, et si $g \in \mathscr{F}_{n}$ est aussi dans $E$, alors la fonction composée $g(f_1, f_2, \dots, f_{n})$ appartient à E
+>  - $E$ contient toutes les fonctions **constantes** de $\mathscr{F}$
+>  - $E$ contient toutes les fonctions de **projection**
+>  - $E$ contient la fonction **successeur**
+>  - $E$ est **clos par composition** : $f_1, f_2, \dots, f_{p}, g \in E \implies g(f_1, \dots, f_{p}) \in E$
+>  - $E$ est **clos par récurrence** : si $g\in \mathscr{F}_{p}$ et $h \in \mathscr{F}_{p+2}$ sont dans $E$ alors $f: \begin{cases} f(\overline{x}, 0) = g(\overline{x})\\ f(\overline{x}, y+1) = h(\overline{x}, y, f(\overline{x}, y)) \end{cases}$ est dans $E$
 > 
 
+# Remarques
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+> [!info] Définition par le bas
+> On peut également produire une définition "par le bas", en construisant d'abord l'ensemble $R_0$ contenant les fonctions constantes, projections et successeur, puis en posant pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
+> $\begin{align} R_{n+1} = R_{n} &\cup \{ h \mid h \text{ est obtenue par récurrence à partir de deux fonctions de } R_{n} \}\\ &\cup \{ h \mid h \text{ est obtenue par composition de deux fonctions de } R_{n} \} \end{align}$
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 # Propriétés
 
 # Exemples