eduroam-prg-sg-1-46-142.net.univ-paris-diderot.fr 2026-2-6:17:45:33

coefficient de correlation linéaire de Pearson.md

@@ -10,10 +10,26 @@ aliases:
 
 > [!definition] [[coefficient de correlation linéaire de Pearson]]
 > Soient $X$ et $Y$ deux [[variable aléatoire|variables aléatoires]] (ou colonnes numériques)
-> Soient $\sigma _{X}$ et $\sigma _{Y}$ les 
+> Soient $\sigma _{X}$ et $\sigma _{Y}$ les [[variance]] (éventuellement empiriques) de $X$ et $Y$
+> Soit $\operatorname{Cov}(X, Y)$ la [[covariance]] de $X$ et $Y$
+> on a :
+> $\boxed{\rho := \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma _{X} \sigma _{Y}}}$
 ^definition
 
 # Propriétés
 
+> [!proposition]+ 
+> on a $\rho \in [-1; 1]$
+> et $|\rho| = 1$ si et seulement s'il y à dépendance linéaire entre $X$ et $Y$
+>  - dem se démontre via l'[[inégalité de cauchy schwartz]]
+
+# Pour les tests
+Test d'hypothèse
+$H_0$ (hulle) : $\operatorname{Cov}_{\rho}(X, Y) = 0$
+$H_1$ (alternative) : 
+ - bilatère : $\operatorname{Cov}_{\rho}(X, Y) \neq 0$
+ - positive : $\operatorname{Cov}_{\rho}(X, Y) > 0$
+ - négative : $\operatorname{Cov}_{\rho}(X, Y) < 0$
+
 # Exemples