eduroam-prg-sg-1-46-142.net.univ-paris-diderot.fr 2026-2-6:17:25:33

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S2 LOGOS . analyse exploratoire de données.md

@@ -27,7 +27,24 @@ depth: [0, 0]
 
 # Correlations
 
-On considère 2 colonnes numériques : $(x_1, \dots, x_{n})$ et $(y_1, \dots, y_{n})$
+On considère 2 colonnes numériques : $(x_1, \dots, x_{n})$ et $(y_1, \dots, y_{n})$  $z = \left[ \begin{array}{cc} x_1 & y_1 \\ \vdots&\vdots \\ x_{n} & y_{n} \end{array} \right]$
+ - ? y a-t-il une "association" entre les $x_{i}$ et les $y_{i}$
+
+## Cas le plus simple : colinéarité
+Quand $\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_{n}\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}y_1\\ \vdots\\ y_{n}\end{pmatrix}$ sont [[vecteurs colinéaires|colinéaires]]
+autrement dit : $\exists a, b,\quad y_{i} = ax_{i} + b$ pour tout $i$
+
+### Quand il n'y a pas colinéarité parfaite
+On cherchera $(a, b)$ qui minimisent $\begin{pmatrix} a \\ b\end{pmatrix} \mapsto \sum\limits_{i=1}^{n}(y_{i} - (ax_{i}+b))^{2}$
+ - "**critère des moindres carrés ordinaires**" (*ordinary least squares*, OLS)
+ - pour obtenir la **meilleure approximation affine** des $y_{i}$ à partir des $x_{i}$
+ 
+La recherche de $\begin{pmatrix}a \\ b\end{pmatrix}$ se fait par régression linéaire simple de $\begin{pmatrix}y_1 \\ y_{n}\end{pmatrix}$ par rapport à $\begin{pmatrix}x_1 \\ x_{n}\end{pmatrix}$
+
+ - def **[[variance|variances]] empiriques** :  $\sigma _{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i = 1}^{n} (x_{i} - \overline{X})^{2}$ et $\sigma _{y}^{2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n} (y_{i} - \overline{Y})^{2}$
+ - def **[[covariance]]** : $\operatorname{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i} - \overline{X})(y_{i} - \overline{Y}) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^{n}x_{i}y_{i} -\overline{X} \cdot\overline{Y} = \overline{XY} - \overline{X}\cdot \overline{Y}$
+ - def **[[coefficient de correlation linéaire de Pearson]]** : $\displaystyle\rho = \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma _{x} \sigma _{y}}$ 
+
+
 
-$z = \left[ \begin{array} x_1 &  \end{array} \right]$
 

coefficient de correlation linéaire de Pearson.md

@@ -0,0 +1,19 @@
+---
+up:
+  - "[[covariance]]"
+tags:
+  - s/maths/statistiques
+aliases:
+  - coefficient de correlation linéaire
+---
+
+
+> [!definition] [[coefficient de correlation linéaire de Pearson]]
+> Soient $X$ et $Y$ deux [[variable aléatoire|variables aléatoires]] (ou colonnes numériques)
+> Soient $\sigma _{X}$ et $\sigma _{Y}$ les 
+^definition
+
+# Propriétés
+
+# Exemples
+

vecteurs colinéaires.md

@@ -1,5 +1,7 @@
 ---
-alias: "colinéaires"
+alias: colinéaires
+aliases:
+  - colinéaires
 ---
 #s/maths/algèbre #s/maths/géométrie  #not-done