eduroam-prg-hf-1-5-173.net.univ-paris-diderot.fr 2025-10-1:15:39:17

espace topologique des types.md

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+up:
+  - "[[type]]"
+tags:
+  - s/maths/topologie
+  - s/maths/logique
+aliases:
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+> [!definition] Définition
+> Soit $\mathcal{F}_{n}$ l'ensemble des formules à variables libres dans $\{ x_1, \dots, x_{n} \}$
+> On note $\mathscr{S}_{n} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{F}_{n}))$ l'ensemble de tous les types en $\{ x_1, \dots, x_{n} \}$
+>  - i $\mathscr{S}_{0}$ est l'ensemble de toutes les théories
+
+
+> [!proposition]+ Topologie sur $\mathscr{S}_{n}$
+> $f \in \mathcal{F}_{n}$
+> $\{ t \in \mathscr{S}_{n} \mid f \in t \} = V(f) \subset \mathscr{S}_{n}$
+> 
+>  - i $V(f) \cap V(g) = \{ t \in \mathscr{S}_{n} \mid f \in t \wedge g \in t \} = V(f \cap g)$
+>  $t = \operatorname{tp}_{A}(a)$
+>  $f, g \in t$ $\begin{cases} A \models f(a) \\ A \models g(a) \end{cases} \iff A \models ( f \wedge g )(a)$
+>  ---
+>  $X - V(f) = V(\neg f)$
+>  $f \notin \operatorname{tp}(a),\quad A \not \models f(a) \iff A \models \neg f(a)$
+>  
+>  > [!definition] Ouverts sur $\mathscr{S}_{n}$
+>  > Une partie $W$ de $\mathscr{S}_{n}$ est ouverte si c'est une réunion de parties de la forme $V(v)$
+> 
+> > [!definition] Topologie sur $\mathscr{S}_{n}$
+> > On peut maintenant former une [[structure de topologie|topologie]] sur $\mathscr{S}_{n}$ :
+>  >  - $\emptyset$ est ouvert car $\emptyset = V(\bot)$
+>  >  - $\mathscr{S}_{n}$ est ouvert car $\mathscr{S}_{n} = V(\top)$
+>  >  - Si $W_1, W_2$ sont ouverts, alors $\displaystyle W_1 \cap W_2 = \bigcup _{(i, j)} V(f_{i}) \cap V(g_{j}) = \bigcup _{(i, j)} V(f_{i} \wedge g_{j})$ avec $W_1 = \bigcup _{i \in I} V(f_{i})$ et $\displaystyle W_2 = \bigcup _{j \in J} V(g_{j})$
+>  
+
+# Propriétés
+
+> [!proposition]+ Théorème
+> $\mathscr{S}_{n}$ est un [[structure de topologie|espace topologique]] [[espace topologique compact|compact]] et [[espace topologique totalement discontinu|totalement discontinu]]
+> 
+> > [!démonstration]- Démonstration
+> > 
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