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@@ -23,8 +23,8 @@ up:: [[mémoire L3 maths]]
 pour $n \in \mathbb{N}^{*}$ et $k, t \in \mathbb{N}$ avec $k < n$ et $t \geq 3$, on définit :
 - $\mathcal{G}_{n, k} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) \leq k \}$
 - $\mathcal{G}_{n, k}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n}^{*} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) \leq k \}$
-- $\mathcal{R}_{n, k, t} := \{ \Gamma \in \mathcal{R_{n, k}} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \}$
-- $\mathcal{R}_{n, k, t}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{R}_{n, k}^{*} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \}$
+- $\mathcal{R}_{n, k, t} := \{ \Gamma \in \mathcal{R_{n, k}} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \}$ les graphes $k$-réguliers à $n$ sommets et de [[maille d'un graphe|maille]] au moins $t$
+- $\mathcal{R}_{n, k, t}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{R}_{n, k}^{*} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \}$ les grraphes connectés $k$-réguliers à $n$ sommets et de maille au moins $t$
 Chacune des propriétés définissant ces ensembles est invariante par isomorphisme.
 # Propriétés des graphes
 - $\displaystyle \operatorname{deg}(i) = \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) := \sum\limits_{\substack{j \in \underline{n}\\ j \neq i}} \Gamma(\{ i, j \})$ le degré d'un sommet $i \in \underline{n}$
@@ -52,12 +52,36 @@ Chacune des propriétés définissant ces ensembles est invariante par isomorphi
     - $\operatorname{succ}_{1}(v_0) := \{ w \in X \mid \operatorname{dist}_{\Gamma}(w, 1) = \operatorname{dist}_{\Gamma}(v_0, 1) + 1 \}$ l'ensemble des enfants de $v_0$
     - $\displaystyle\operatorname{succ}_{i+1}(v_0) := \bigcup _{u \in \operatorname{succ}_{i}(v_0)} \operatorname{succ}_{1}(v_0)$
     - $\operatorname{succ}(v_0) = \bigcup _{i=1}^{n} \operatorname{succ}_{i}(v_0)$ l'ensemble des successeurs de $v_0$
-    - 
+
+##### arbres couvrants
+- $T_{k, t} \in \mathcal{G}_{f_0(k, t)}$ pour $k \geq 2$, $t \geq 3$ avec $t$ impair tel que $t = 2d +1$
+    - $T_{k, t}$ est un arbre
+    - a) chaque feuille $v$ à une distance $d$ au nœud 1 : $\mathrm{dist}(v, 1) = d$ 
+    - b) chaque nœud interne $w$ est de degré $k$ : $\mathrm{deg}(w) = k$
+    - $T_{k, t}$ est canonique
+- $\overline{T}_{n, k, t}$ le graphe à $n \geq f_0(k, t)$ nœuds que l'on obtient à partir de $T_{k, t}$ en ajoutant $n- f_0(k, t)$ nœuds de degré 0
+    - on montre que pour tout graphe $\Gamma \in \mathrm{rep}(S_{n} \backslash\backslash \mathcal{R}_{n,k,t})$ alors $\overline{T}_{n,k,t} \subset \Gamma$
+        - et même que $\forall w \in \underline{n}$ il existe un $\pi \in S_{n}$ tel que $w^{\pi} = 1$ et $\overline{T}_{n,k,t} \subset \Gamma^{\pi}$
+
 ### Distances
 - $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, w) := \min \{ l(W) \mid W \text{ une chaîne simple de } v \text{ vers } w \}$ la distance entre deux sommets
         - si aucune chaîne simple n'existe : $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, w) = +\infty$
         - $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, v) = 0$
 - $\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, \{ u, u' \}):= \min \{ \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, u), \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, u') \}$ distance entre le sommet $v$ et l'arrête $\{ u, u' \} \in E$
 
+## Cages
+- $f(k, t) := \min \{ n \in \mathbb{N} \mid \mathcal{R}_{n, k, t} \neq \emptyset \}$ 
+    - le plus petit nombre de nœuds tels qu'il existe au moins un graphe $k$-régulier de [[maille d'un graphe|maille]] $t$ 
+    - $f(2, t) = t$ pour $t \geq 3$
+    - $f(k, 3) = k+1$ pour $t = 3$
 
+ - soit $n_0 = f(k, t)$ alors $S_{n_0} \backslash\backslash \mathcal{R}_{n_0, k, t}(k, t)$ est l'ensemble des $(k, t)$-cages
+     - $(k, t)$-cage : graphe $k$-régulier minimal de [[maille d'un graphe|maille]] $t$
+     - ici, $f(k, t)$ donne le nombre de nœud minimal nécessaire (par définition)
+
+ - $f_0$ comme lower bound de $f$
+     - $f_0(k, t) := \begin{cases} 1 + k \sum\limits_{i=1}^{\frac{t-1}{2}} (k-1)^{i-1},\quad \text{si } t \text{ est impair} \\ 2 \sum\limits_{i=1}^{\frac{t}{2}}(k-1)^{i-1},\quad \text{sinon} \end{cases}$
+     - Alors : $\boxed{f(k, t) \geq f_0(k, t)}$ 
+     - 
+# Critères d'existence des graphes réguliers