Définition des graphes

\underline{n} := [\![1; n]\!] = \{ 1, 2, \dots, n \} pour n \in \mathbb{N}^{*}
X :=\begin{pmatrix}\underline{n}\\ 2\end{pmatrix} = \mathscr{P}_{2}(\underline{n}) les parties de \underline{n} à 2 éléments
\mathcal{G}_{n} := \{ 0, 1 \}^{X} ensemble des graphes étiquettés à n sommets (fonctions de X \to \{ 0, 1 \})
- \Gamma \in \mathcal{G}_{n} un graphe
  - E := \{ e \in X \mid \Gamma(e) = 1 \} l'ensemble des arrêtes de \Gamma
S_{n} \backslash \backslash \mathcal{G}_{n} = \mathfrak{S}_{n} \backslash \backslash \mathcal{G}_{n} l'ensemble des graphes simples à n sommets (non-étiquettés, donc stables par permutation des sommet : les classes d'équivalences de \mathcal{G}_{n} par isomorphisme)

Graphes particuliers

\mathcal{R}_{n, k} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) = k \} ensemble des graphes $k$-réguliers à n sommets
S_{n} \backslash \backslash \mathcal{R}_{n, k} = \mathfrak{S}_{n} \backslash \backslash \mathcal{R}_{n, k} l'ensemble des graphes simples $k$-réguliers à n sommets (non-étiquettés)
- c'est l'ensemble des classes d'équivalences par isomorphisme de graphes

graphe connecté (connected) : si toute paire de sommets est connectée par une chaîne
les "composants connexes" sont les classes d'équivalence par la relation "sont reliés par une chaîne"
un sommet de degré 0 est un "composant trivial" (trivial component)
\mathcal{G}_{n}^{*} l'ensemble des graphes
\mathcal{R}_{n, k}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{R}_{n, k} \mid \Gamma \text{ est connecté} \} l'ensemble des graphes étiquettés $k$-réguliers connectés

pour n \in \mathbb{N}^{*} et k, t \in \mathbb{N} avec k < n et t \geq 3, on définit :

\mathcal{G}_{n, k} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) \leq k \}
\mathcal{G}_{n, k}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{G}_{n}^{*} \mid \forall i \in \underline{n},\quad \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) \leq k \}
\mathcal{R}_{n, k, t} := \{ \Gamma \in \mathcal{R_{n, k}} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \} les graphes $k$-réguliers à n sommets et de maille d'un graphe au moins t
\mathcal{R}_{n, k, t}^{*} := \{ \Gamma \in \mathcal{R}_{n, k}^{*} \mid \operatorname{girth}(\Gamma) \geq t \} les grraphes connectés $k$-réguliers à n sommets et de maille au moins t Chacune des propriétés définissant ces ensembles est invariante par isomorphisme.

\displaystyle \operatorname{deg}(i) = \operatorname{deg}_{\Gamma}(i) := \sum\limits_{\substack{j \in \underline{n}\\ j \neq i}} \Gamma(\{ i, j \}) le degré d'un sommet i \in \underline{n}

Une famille d'éléments de E est une chaîne (trail)
Une famille déléments de E sans répétition est une chaîne simple (path)
W = (v_1, v_2, \dots, v_{q-1}, w) est la notation pour la chaîne de v vers w qui passe par les arrêtes (\{ v_1, v_2 \}, \{ v_2, v_3 \}, \dots, \{ v_{q-1}, w \}) - l(W) = q la longueur d'une chaîne (son nombre d'arrêtes)

si les extrémités v et w d'une chaîne sont connectées par l'arrête e = \{ v, w \}, alors K := W \cup \{ e \} est un cycle
- l(K) := q+1 sa longueur (son nombre de sommets)
Si \Gamma n'a pas de cycle plus petit que K, alors K est une maille de \Gamma (girth)
\operatorname{girth}(\Gamma) := \min \{ l(K) \mid K \text{ un cycle dans } \Gamma \} la maille (girth) de \Gamma (la taille de son plus petit cycle)
- si \Gamma ne contient aucun cycle : \operatorname{girth}(\Gamma) := \infty

un graphe étiquetté connecté sans cycles est appelé un arbre (tree)
les sommets de degré 1 sont appelés "feuilles" (leaves)
les sommets de degré > 1 sont appelés "sommets intérieurs" (inner nodes)
la racine (root) d'un arbre est un sommet intérieur particulier que l'on choisit
Un arbre enraciné (rooted tree) est un arbre pour lequel on a fixé une racine
Soit \Gamma \in \mathcal{G}_{n}^{*} un arbre enraciné de racine 1, soit v_0 un sommet tel que \operatorname{dist}_{\Gamma}(v_0, 1) = d
- si 0 < d < \infty, alors il existe exactement un voisin v de v_0 tel que \operatorname{dist}(v, 1) = d -1. Ce sommet v est appelé "parent" de v_0
- tous les autres voisins w de v_0 sont tels que \operatorname{dist}_{\Gamma}(w, 1) = d+1, et ils sont appelés "enfants" de v_0
- \operatorname{succ}_{1}(v_0) := \{ w \in X \mid \operatorname{dist}_{\Gamma}(w, 1) = \operatorname{dist}_{\Gamma}(v_0, 1) + 1 \} l'ensemble des enfants de v_0
- \displaystyle\operatorname{succ}_{i+1}(v_0) := \bigcup _{u \in \operatorname{succ}_{i}(v_0)} \operatorname{succ}_{1}(v_0)
- \operatorname{succ}(v_0) = \bigcup _{i=1}^{n} \operatorname{succ}_{i}(v_0) l'ensemble des successeurs de v_0

T_{k, t} \in \mathcal{G}_{f_0(k, t)} pour k \geq 2, t \geq 3 avec t impair tel que t = 2d +1
- T_{k, t} est un arbre
- a) chaque feuille v à une distance d au nœud 1 : \mathrm{dist}(v, 1) = d
- b) chaque nœud interne w est de degré k : \mathrm{deg}(w) = k
- T_{k, t} est canonique
\overline{T}_{n, k, t} le graphe à n \geq f_0(k, t) nœuds que l'on obtient à partir de T_{k, t} en ajoutant n- f_0(k, t) nœuds de degré 0
- on montre que pour tout graphe \Gamma \in \mathrm{rep}(S_{n} \backslash\backslash \mathcal{R}_{n,k,t}) alors \overline{T}_{n,k,t} \subset \Gamma
  - et même que \forall w \in \underline{n} il existe un \pi \in S_{n} tel que w^{\pi} = 1 et \overline{T}_{n,k,t} \subset \Gamma^{\pi}

\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, w) := \min \{ l(W) \mid W \text{ une chaîne simple de } v \text{ vers } w \} la distance entre deux sommets - si aucune chaîne simple n'existe : \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, w) = +\infty - \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, v) = 0
\operatorname{dist}_{\Gamma}(v, \{ u, u' \}):= \min \{ \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, u), \operatorname{dist}_{\Gamma}(v, u') \} distance entre le sommet v et l'arrête \{ u, u' \} \in E

f(k, t) := \min \{ n \in \mathbb{N} \mid \mathcal{R}_{n, k, t} \neq \emptyset \}
- le plus petit nombre de nœuds tels qu'il existe au moins un graphe $k$-régulier de maille d'un graphe t
- f(2, t) = t pour t \geq 3
- f(k, 3) = k+1 pour t = 3
soit n_0 = f(k, t) alors S_{n_0} \backslash\backslash \mathcal{R}_{n_0, k, t}(k, t) est l'ensemble des $(k, t)$-cages
- $(k, t)$-cage : graphe $k$-régulier minimal de maille d'un graphe t
- ici, f(k, t) donne le nombre de nœud minimal nécessaire (par définition)
f_0 comme lower bound de f
- f_0(k, t) := \begin{cases} 1 + k \sum\limits_{i=1}^{\frac{t-1}{2}} (k-1)^{i-1},\quad \text{si } t \text{ est impair} \\ 2 \sum\limits_{i=1}^{\frac{t}{2}}(k-1)^{i-1},\quad \text{sinon} \end{cases}
- Alors : \boxed{f(k, t) \geq f_0(k, t)}