eduroam-prg-og-1-29-184.net.univ-paris-diderot.fr 2026-3-23:10:56:55

anneau.md

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 > Si $a, b \in A$ et $a \times b = b \times a$ et $n \in \mathbb{N}^{*}$ alors :
 > $a^{n} - b^{n} = (a-b) \sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}$
 > > [!démonstration]- Démonstration
-> > On procède par récurrence :
-> >  - **Initialisation :** Pour $n = 1$ on a bien $a^{1} - b^{1} = a-b = (a-b)(a^{0}b^{0})$
-> >  - **Récurrence :** On suppose que $a^{n} - b^{n} = (a-b) \sum\limits_{k=0}^{n-1} a^{k} b^{n-1-k}$
-> >    Montrons que $a^{n+1} - b^{n+1} = (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}$
+> > Réécrivons le terme de droite de manière développée :
+> > $\begin{align} (a-b)\sum\limits_{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k} &= (a-b)(a^{0}b^{n-1} + a^{1}b^{n-2} + \cdots + a^{n-2}b^{1}+a^{n-1}b^{0}) \\&= \bcancel{\color{darkred}a^{1}b^{n-1}} + \bcancel{\color{chartreuse}a^{2}b^{n-2}}+\bcancel{\color{deepskyblue} a^{3}b^{n-3}} + \cdots + \bcancel{\color{orange} a^{n-1}b^{1}} +a^{n}b^{0} \\ &\quad \,- a^{0}b^{n}-a^{1}b^{n-1}- a^{2}b^{n-2}-\cdots -a^{n-2}b^{2}-a^{n-1}b^{1} \end{align}$
 > >    
 
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