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up:
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- "[[suites particulières]]"
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tags:
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- s/maths
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aliases:
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- suite look-and-say
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- audioactive decay
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- look-and-say sequence
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author:
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- "[[John Horton Conway|John Conway]]"
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> [!definition] [[désintégration audioactive]]
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> La règle de définition est :
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> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
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^definition
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# Notations
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- On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres
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- On pourra noter $,12,23,11,$ : les virgules précisent le parsing
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- $L \to L'$ signifie que $L$ est dérivée en $L'$ par désintégration audioactive
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- On note aussi $L \to L' \to L'' \to \cdots$ pour $L \to L'$ et $L' \to L''$ et $L'' \to \cdots$
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- $L_{n}$ est le $n^{\text{ème}}$ *descendant* de $L$ (le résultat de $n$ dérivations de $L$)
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- évidemment : $L_0 = L$ et $L_{n} \to L_{n+1}$
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- i on peut noter $L \overset{n}{\to} L_{n}$
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- On utilise $[$ et $]$ pour dénoter la "véritable fin" des morceaux de termes (des sous-suites consécutives d'un terme)
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- = $[11222$ correspond à $\cdots 11 222$
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- On utilise les puissances pour la répétition
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- = $3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111$
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- i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, $11111$ ne sera jamais noté comme $1^{2}1^{3}$)
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- $X$ désigne un chiffre arbitraire (non nul)
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- = $X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ correspond à $[a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$
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- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0}$ correspond à $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]$
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- $\neq n$ désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que $n$
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- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0}$ signifie $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}$ suivi d'au moins un autre chiffre
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- = $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0}$ signifie que ce dernier chiffre n'est pas un $2$
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- = $n^{n}] \overset{(n\neq 2)}{\to} n^{\neq n}] \to n'$
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# Propriétés
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> [!proposition]+
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> Pour une étape :
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> $a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots$
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> Il est évident que :
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> $a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots$
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> - dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands $\alpha, \beta, \gamma, \delta\dots$ possibles
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## 1 Atomes
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> [!definition] Découpage
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> Parfois, une chaîne $LR$ est telle que les descendants de $L$ et de $R$ n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que :
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> $\forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n}$
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> On dit alors que $LR$ se **découpe** en $L . R$
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> - i on note alors $L \cdot R$
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> - i Il est évident que cela arrive lorsque le dernier chiffre de $L_{n}$ est toujours différent du premier chiffre de $R_{n}$ (ou bien quand l'une des deux est vide)
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> - def On appelle **trivial** un découpage du type $[\;]\cdot L$ ou $L\cdot [\;]$
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> [!definition] Atome
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> Les **atomes** (ou *éléments*) sont les chaînes qui ne possèdent pas de découpage non trivial.
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> - source:: [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=181&selection=221,11,241,7&color=note|(John Horton Conway, 1987)]]
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- i toute chaîne est **composée** d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne **comprends** lesdits éléments.
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- source:: [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=181&selection=243,5,260,9&color=note|(John Horton Conway, 1987)]]
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## Théorèmes
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> [!proposition]+ Théorème du jour 1 – [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=185&rect=12,336,372,470|p.185]]
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> Les morceaux de type :
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> 1. $,ax,bx,$
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> 2. $x^{\geq 4}$
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> 3. $x^{3}y^{3}$
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>
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> n'apparaîssent pas dans les chaînes agées d'un jour ou plus.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > 1. $,ax,bx,$
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> > - ! ce premier morceau à un parsing donné
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> > La première possibilité doit venir de $x^{a}x^{b}$ qui aurait du être écrit $x^{a+b}$ dans la chaîne du jour précédent.
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> > 2. $x^{\geq 4}$ soit $x^{n}$ pour $n \geq 4$
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> > On peut parser cette expression de plusieurs manières.
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> > - si $n$ est pair :
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> > $,\underbrace{xx,xx,\dots,x x}_{\frac{n}{2} \text{ répétitions}},$ et au minimum $,xx,xx,$ pour $n = 4$. Il est évident que, dans ce cas, la dérivation ne peut pas donner cela puisque l'on aurait du regrouper tous ces $x$ : $x^{2\times x}$ n'est pas dérivé en $xx,xx$ mais en $(2\times x)x$
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> > L'autre parsing possible est $[x,\underbrace{xx, \dots, xx}_{\frac{n}{2}-1 \text{ répétitions}},x]$ ce qui donne, à nouveau, le même résultat : $,x,x^{k},x,$ n'aurait pas du être dérivé ainsi, mais en $(k+2)x$
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> > - si $n$ est impair : ($n\geq 5$)
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> > A nouveau, ni $,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x,$ ni $[x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}},$ ne sont des dérivations correctes
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> > 2. $x^{3}y^{3}$
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> > Encore une fois, considérons les parsing possibles :
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> > - $,xx,xy,yy,$ ne peut pas exister, puisque $,xy,yy,$ aurait du être dérivé en un $,ky,$
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> > - $[x,xx,yy,y]$ ne peut pas exister puisque $\alpha x,x x$ aurait du être dérivé en $(\alpha+x) x$
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> > Cela montre bien qu'aucune de ces formes ne peut exister après dérivation.
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^thm-jour-1
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> [!proposition]+ Théorème du jour 2 – [[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=185&rect=12,225,373,331|p.185]]
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> - Aucun chiffre $\geq 4$ ne peut apparaître au jour 2 ou ensuite.
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> - Un morceau $3 X 3$ (en particulier $3^{3}$) ne peut pas apparaître dans aucune chaîne âgée d'au moins 2 jours.
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> > [!démonstration]- Démonstration
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> > Un chiffre $\geq 4$ devrait venir d'un $x^{\geq 4}$, on on sait par le [[désintégration audioactive#^thm-jour-1|Théorème du jour 1]] qu'un tel $x^{\geq 4}$ ne peut pas apparaître, ce qui montre bien qu'un chiffre $\geq 4$ ne peut pas apparaître après le jour 2
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> > - i un chiffre $k>1$ quelconque peut apparaître au jour 1 si la chaîne de départ contient $,x^{k},$ puisque $,x^{k}, \to ,kx,$
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> > Un morceau $3X 3$ ne peut pas être parsé comme $[3,x 3, y]$ puisque l'on aurait alors $,\alpha 3, x 3, y]$ mais cela ne peut pas être le résultat d'une dérivation (puisque la dérivation ne peut pas donner $,\alpha 3,x 3,$), $,3x,3y,$
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^thm-jour-2
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$[3,x 3,y]$
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## Tableau des éléments
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![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=183&rect=15,26,369,536&color=note|(John Horton Conway, 1987)]]
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![[sources/1 - articles/Open problems in communication and computation (Cover, T. M., 1938-, Gopinath, B) (z-library.sk, 1lib.sk, z-lib.sk).pdf#page=184&rect=15,30,372,536&color=note|(John Horton Conway, 1987)]]
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- = $\ce{He -> Hf.Pa.H.Ca.Li}$
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# Exemples
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