cours/désintégration audioactive.md

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suites particulières	s/maths	suite look-and-say audioactive decay look-and-say sequence	John Horton Conway

[!definition] désintégration audioactive La règle de définition est : a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots ^definition

Notations

• On assimilera toujours les éléments d'un terme à des chiffres

• On pourra noter ,12,23,11, : les virgules précisent le parsing

• L \to L' signifie que L est dérivée en L' par désintégration audioactive

  • On note aussi L \to L' \to L'' \to \cdots pour L \to L' et L' \to L'' et L'' \to \cdots

• L_{n} est le n^{\text{ème}} descendant de L (le résultat de n dérivations de L)

  • évidemment : L_0 = L et L_{n} \to L_{n+1}
  • i on peut noter L \overset{n}{\to} L_{n}

• On utilise [ et ] pour dénoter la "véritable fin" des morceaux de termes (des sous-suites consécutives d'un terme)

  • = [11222 correspond à \cdots 11 222

• On utilise les puissances pour la répétition

  • = 3^{4}2^{1}1^{5} = 333211111
  • i on prends toujours la plus grande puissance possible (par exemple, 11111 ne sera jamais noté comme 1^{2}1^{3})

• X désigne un chiffre arbitraire (non nul)

  • = X^{0}a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} correspond à [a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}
  • = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{0} correspond à a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}]

• \neq n désigne n'importe quel chiffre (éventuellement 0) autre que n

  • = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}X^{\neq 0} signifie a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} suivi d'au moins un autre chiffre
  • = a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} (\neq 2)^{\neq 0} signifie que ce dernier chiffre n'est pas un 2

• = n^{n}] \overset{(n\neq 2)}{\to} n^{\neq n}] \to n'

Propriétés

[!proposition]+ Pour une étape : a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma}d^{\delta}\cdots \longrightarrow \alpha a\beta b\gamma c\delta d\cdots Il est évident que : a\neq b,\quad b\neq c,\quad c\neq d,\dots

• dem Cela découle directement du fait que l'on choisit, à chaque fois, les plus grands \alpha, \beta, \gamma, \delta\dots possibles

1 Atomes

[!definition] Découpage Parfois, une chaîne LR est telle que les descendants de L et de R n'interferent jamais l'un avec l'autre, c'est-à-dire que : \forall n,\quad (LR)_{n} = L_{n}R_{n} On dit alors que LR se découpe en L . R

• i on note alors L \cdot R
• i Il est évident que cela arrive lorsque le dernier chiffre de L_{n} est toujours différent du premier chiffre de R_{n} (ou bien quand l'une des deux est vide)

---

• def On appelle trivial un découpage du type [\;]\cdot L ou L\cdot [\;]

[!definition] Atome Les atomes (ou éléments) sont les chaînes qui ne possèdent pas de découpage non trivial.

• source:: (John Horton Conway, 1987)

• i toute chaîne est composée d'un certain nombre d'éléments. On dit que cette chaîne comprends lesdits éléments.
  • source:: (John Horton Conway, 1987)

Théorèmes

[!proposition]+ Théorème du jour 1 – p.185 Les morceaux de type :

1. ,ax,bx,
2. x^{\geq 4}
3. x^{3}y^{3}

n'apparaîssent pas dans les chaînes agées d'un jour ou plus.

[!démonstration]- Démonstration

1. ,ax,bx,
   • ! ce premier morceau à un parsing donné La première possibilité doit venir de x^{a}x^{b} qui aurait du être écrit x^{a+b} dans la chaîne du jour précédent.
2. x^{\geq 4} soit x^{n} pour n \geq 4 On peut parser cette expression de plusieurs manières.
   • si n est pair : ,\underbrace{xx,xx,\dots,x x}_{\frac{n}{2} \text{ répétitions}}, et au minimum ,xx,xx, pour n = 4. Il est évident que, dans ce cas, la dérivation ne peut pas donner cela puisque l'on aurait du regrouper tous ces x : x^{2\times x} n'est pas dérivé en xx,xx mais en (2\times x)x L'autre parsing possible est [x,\underbrace{xx, \dots, xx}_{\frac{n}{2}-1 \text{ répétitions}},x] ce qui donne, à nouveau, le même résultat : ,x,x^{k},x, n'aurait pas du être dérivé ainsi, mais en (k+2)x
   • si n est impair : (n\geq 5) A nouveau, ni ,\underbrace{xx,xx,\dots,xx}_{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor \text{ répétitions}},x, ni [x,\underbrace{xx,xx, \dots, x x}_{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor \text{ répétitions}}, ne sont des dérivations correctes
3. x^{3}y^{3} Encore une fois, considérons les parsing possibles :
   • ,xx,xy,yy, ne peut pas exister, puisque ,xy,yy, aurait du être dérivé en un ,ky,
   • [x,xx,yy,y] ne peut pas exister puisque \alpha x,x x aurait du être dérivé en (\alpha+x) x Cela montre bien qu'aucune de ces formes ne peut exister après dérivation. ^thm-jour-1

[!proposition]+ Théorème du jour 2 – p.185

• Aucun chiffre \geq 4 ne peut apparaître au jour 2 ou ensuite.
• Un morceau 3 X 3 (en particulier 3^{3}) ne peut pas apparaître dans aucune chaîne âgée d'au moins 2 jours.

[!démonstration]- Démonstration Un chiffre \geq 4 devrait venir d'un x^{\geq 4}, on on sait par le désintégration audioactive#^thm-jour-1 qu'un tel x^{\geq 4} ne peut pas apparaître, ce qui montre bien qu'un chiffre \geq 4 ne peut pas apparaître après le jour 2 - i un chiffre k>1 quelconque peut apparaître au jour 1 si la chaîne de départ contient ,x^{k}, puisque ,x^{k}, \to ,kx, Un morceau 3X 3 ne peut pas être parsé comme [3,x 3, y] puisque l'on aurait alors ,\alpha 3, x 3, y] mais cela ne peut pas être le résultat d'une dérivation (puisque la dérivation ne peut pas donner ,\alpha 3,x 3,), ,3x,3y, ^thm-jour-2

[3,x 3,y]

Tableau des éléments

!(John Horton Conway, 1987) !(John Horton Conway, 1987)

• = \ce{He -> Hf.Pa.H.Ca.Li}

Exemples