cours/théorème des valeurs extrêmes.md

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théorème des bornes atteintes théorème de Weierstrass

up:: fonction continue title:: "toute fonction continuesur un intervalle fermé est fonction bornée" #maths/analyse

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[!definition] théorème des valeurs extrêmes Soit \mathbf{K} un corps Soit I \subset \mathbf{K} un intervalle fermé Soit f: I \to F Si f\in C^{0}(I) (f est fonction continue sur I), alors f est fonction bornée ^definition

[!attention] Intervalles contenant des infinis La propriété ne fonctionne plus quand l'intervalle I contient des valeurs infinie. Par exemple, la fonction : \begin{align} f : & [0; +\infty] \to \mathbb{R}^{+}\\ & x \mapsto e^{x} \end{align} Est continue sur l'intervalle [0; +\infty], mais n'est pas bornée (elle diverge vers +\infty en +\infty) (voir fonction exponentielle)