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sr-due, sr-interval, sr-ease, alias

sr-due	sr-interval	sr-ease	alias
2022-08-20	4	288	sous groupes

up::groupe, structure algébrique #maths/algèbre

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Soit H un sous-ensemble non vide d'un groupe G muni d'une loi *. (H, *) est un sous-groupe de (G, *) ssi :

• * est une loi de composition interne sur H : \forall (h_1,h_2)\in H^2, h_1*h_2\in H
• \forall h\in H, h^{-1}\in H : tous les éléments de H ont leur éléments symétrisables dans H aussi
  • Alors h*h^{-1}\in H, donc cette propriété implique que (H,*) possède un élément neutre

On sait aussi que (H,*) est commutatif et associatif car (G,*) l'est, et que H\subset G

Autres définition

Soit un groupe (G, *), (H, *) est un sous-groupe de (G, *) ssi :

• H\subset G et H\neq\emptyset
• H est stable par la loi * : \forall (a,b)\in H^2, a*b\in H
• H est stable par passage au symétrique : \forall a\in H? a^{*(-1)}\in H

Propriétés

• Un sous ensemble non vide H d'un groupe (G, *) est un sous-groupe ssi \forall(h_1,h_2)\in H^2, h_1*h_2^{-1}\in H
• Soit (G, *) un groupe et (H_i) une famille quelconque de sous-groupes. Alors : \disp\cap_{i}H_{i} est également un sous-groupe de (G, *)